Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75205 / 55747
↖ ↑ ↗
← N 25.950636°
E 26.556702°		 ← 274.63 m → N 25.950636°
E 26.559448°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 25.948166°
E 26.556702°		 ← 274.64 m →
75 411 m²		 N 25.948166°
E 26.559448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573772430419922 y=0.425319671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573772430419922 × 217)
    floor (0.573772430419922 × 131072)
    floor (75205.5)     		tx = 75205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425319671630859 × 217)
    floor (0.425319671630859 × 131072)
    floor (55747.5)     		ty = 55747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75205 / 55747 ti = "17/75205/55747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75205/55747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75205 ÷ 217
    75205 ÷ 131072     		x = 0.573768615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55747 ÷ 217
    55747 ÷ 131072     		y = 0.425315856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573768615722656 × 2 - 1) × π
    0.147537231445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46350188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425315856933594 × 2 - 1) × π
    0.149368286132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.46925431038073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46350188} λ = 0.46350188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46925431038073))-π/2
    2×atan(1.59880153888683)-π/2
    2×1.01186018365699-π/2
    2.02372036731398-1.57079632675     		φ = 0.45292404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46350188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.556702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45292404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.950636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75205 KachelY 55747 0.46350188 0.45292404 26.556702 25.950636
    Oben rechts KachelX + 1 75206 KachelY 55747 0.46354982 0.45292404 26.559448 25.950636
    Unten links KachelX 75205 KachelY + 1 55748 0.46350188 0.45288094 26.556702 25.948166
    Unten rechts KachelX + 1 75206 KachelY + 1 55748 0.46354982 0.45288094 26.559448 25.948166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45292404-0.45288094) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45292404-0.45288094) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46350188-0.46354982) × cos(0.45292404) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899171398131624 × 6371000     		do = 274.630089661324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46350188-0.46354982) × cos(0.45288094) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899190257710537 × 6371000     		du = 274.635849862169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45292404)-sin(0.45288094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899171398131624-0.899190257710537)×R²
    abs(0.46354982-0.46350188)×1.88595789124557e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88595789124557e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88595789124557e-05×40589641000000     		ar = 75411.4946418791m²