Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75203 / 56002
↖ ↑ ↗
← N 25.319201°
E 26.551209°		 ← 276.09 m → N 25.319201°
E 26.553955°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 25.316718°
E 26.551209°		 ← 276.09 m →
76 216 m²		 N 25.316718°
E 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573757171630859 y=0.427265167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573757171630859 × 217)
    floor (0.573757171630859 × 131072)
    floor (75203.5)     		tx = 75203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427265167236328 × 217)
    floor (0.427265167236328 × 131072)
    floor (56002.5)     		ty = 56002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75203 / 56002 ti = "17/75203/56002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75203/56002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75203 ÷ 217
    75203 ÷ 131072     		x = 0.573753356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56002 ÷ 217
    56002 ÷ 131072     		y = 0.427261352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573753356933594 × 2 - 1) × π
    0.147506713867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46340601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427261352539062 × 2 - 1) × π
    0.145477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.457030400977615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46340601} λ = 0.46340601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457030400977615))-π/2
    2×atan(1.57937689812133)-π/2
    2×1.00634987533206-π/2
    2.01269975066413-1.57079632675     		φ = 0.44190342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46340601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.551209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44190342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.319201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75203 KachelY 56002 0.46340601 0.44190342 26.551209 25.319201
    Oben rechts KachelX + 1 75204 KachelY 56002 0.46345395 0.44190342 26.553955 25.319201
    Unten links KachelX 75203 KachelY + 1 56003 0.46340601 0.44186009 26.551209 25.316718
    Unten rechts KachelX + 1 75204 KachelY + 1 56003 0.46345395 0.44186009 26.553955 25.316718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44190342-0.44186009) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44190342-0.44186009) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46340601-0.46345395) × cos(0.44190342) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903939283052297 × 6371000     		do = 276.086324441456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46340601-0.46345395) × cos(0.44186009) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90395781274683 × 6371000     		du = 276.091983887121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44190342)-sin(0.44186009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903939283052297-0.90395781274683)×R²
    abs(0.46345395-0.46340601)×1.85296945335311e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85296945335311e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85296945335311e-05×40589641000000     		ar = 76215.9101831056m²