Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75202 / 55486
↖ ↑ ↗
← N 26.593439°
E 26.548462°		 ← 273.11 m → N 26.593439°
E 26.551209°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
N 26.590983°
E 26.548462°		 ← 273.12 m →
74 577 m²		 N 26.590983°
E 26.551209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573749542236328 y=0.423328399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573749542236328 × 217)
    floor (0.573749542236328 × 131072)
    floor (75202.5)     		tx = 75202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423328399658203 × 217)
    floor (0.423328399658203 × 131072)
    floor (55486.5)     		ty = 55486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75202 / 55486 ti = "17/75202/55486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75202/55486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75202 ÷ 217
    75202 ÷ 131072     		x = 0.573745727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55486 ÷ 217
    55486 ÷ 131072     		y = 0.423324584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573745727539062 × 2 - 1) × π
    0.147491455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46335807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423324584960938 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481765841181564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46335807} λ = 0.46335807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481765841181564))-π/2
    2×atan(1.61893065402612)-π/2
    2×1.01746970073873-π/2
    2.03493940147746-1.57079632675     		φ = 0.46414307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46335807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.548462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46414307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.593439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75202 KachelY 55486 0.46335807 0.46414307 26.548462 26.593439
    Oben rechts KachelX + 1 75203 KachelY 55486 0.46340601 0.46414307 26.551209 26.593439
    Unten links KachelX 75202 KachelY + 1 55487 0.46335807 0.46410021 26.548462 26.590983
    Unten rechts KachelX + 1 75203 KachelY + 1 55487 0.46340601 0.46410021 26.551209 26.590983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46414307-0.46410021) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46414307-0.46410021) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46335807-0.46340601) × cos(0.46414307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894205504331394 × 6371000     		do = 273.11337787231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46335807-0.46340601) × cos(0.46410021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894224690075991 × 6371000     		du = 273.119237692551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46414307)-sin(0.46410021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894205504331394-0.894224690075991)×R²
    abs(0.46340601-0.46335807)×1.91857445965837e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91857445965837e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91857445965837e-05×40589641000000     		ar = 74577.4285177444m²