Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75201 / 55742
↖ ↑ ↗
← N 25.962984°
E 26.545715°		 ← 274.60 m → N 25.962984°
E 26.548462°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 25.960514°
E 26.545715°		 ← 274.61 m →
75 404 m²		 N 25.960514°
E 26.548462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573741912841797 y=0.425281524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573741912841797 × 217)
    floor (0.573741912841797 × 131072)
    floor (75201.5)     		tx = 75201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425281524658203 × 217)
    floor (0.425281524658203 × 131072)
    floor (55742.5)     		ty = 55742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75201 / 55742 ti = "17/75201/55742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75201/55742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75201 ÷ 217
    75201 ÷ 131072     		x = 0.573738098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55742 ÷ 217
    55742 ÷ 131072     		y = 0.425277709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573738098144531 × 2 - 1) × π
    0.147476196289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46331013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425277709960938 × 2 - 1) × π
    0.149444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.46949399487883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46331013} λ = 0.46331013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46949399487883))-π/2
    2×atan(1.59918479275941)-π/2
    2×1.01196793672781-π/2
    2.02393587345563-1.57079632675     		φ = 0.45313955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46331013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.545715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45313955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.962984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75201 KachelY 55742 0.46331013 0.45313955 26.545715 25.962984
    Oben rechts KachelX + 1 75202 KachelY 55742 0.46335807 0.45313955 26.548462 25.962984
    Unten links KachelX 75201 KachelY + 1 55743 0.46331013 0.45309645 26.545715 25.960514
    Unten rechts KachelX + 1 75202 KachelY + 1 55743 0.46335807 0.45309645 26.548462 25.960514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45313955-0.45309645) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45313955-0.45309645) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46331013-0.46335807) × cos(0.45313955) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899077070805213 × 6371000     		do = 274.601279667852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46331013-0.46335807) × cos(0.45309645) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899095938735711 × 6371000     		du = 274.607042419487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45313955)-sin(0.45309645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899077070805213-0.899095938735711)×R²
    abs(0.46335807-0.46331013)×1.8867930498434e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8867930498434e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8867930498434e-05×40589641000000     		ar = 75403.5840530918m²