Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75201 / 55487
↖ ↑ ↗
← N 26.590983°
E 26.545715°		 ← 273.12 m → N 26.590983°
E 26.548462°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
N 26.588527°
E 26.545715°		 ← 273.13 m →
74 596 m²		 N 26.588527°
E 26.548462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573741912841797 y=0.423336029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573741912841797 × 217)
    floor (0.573741912841797 × 131072)
    floor (75201.5)     		tx = 75201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423336029052734 × 217)
    floor (0.423336029052734 × 131072)
    floor (55487.5)     		ty = 55487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75201 / 55487 ti = "17/75201/55487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75201/55487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75201 ÷ 217
    75201 ÷ 131072     		x = 0.573738098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55487 ÷ 217
    55487 ÷ 131072     		y = 0.423332214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573738098144531 × 2 - 1) × π
    0.147476196289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46331013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423332214355469 × 2 - 1) × π
    0.153335571289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.481717904281944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46331013} λ = 0.46331013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481717904281944))-π/2
    2×atan(1.61885304936994)-π/2
    2×1.01744826778907-π/2
    2.03489653557814-1.57079632675     		φ = 0.46410021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46331013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.545715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46410021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.590983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75201 KachelY 55487 0.46331013 0.46410021 26.545715 26.590983
    Oben rechts KachelX + 1 75202 KachelY 55487 0.46335807 0.46410021 26.548462 26.590983
    Unten links KachelX 75201 KachelY + 1 55488 0.46331013 0.46405734 26.545715 26.588527
    Unten rechts KachelX + 1 75202 KachelY + 1 55488 0.46335807 0.46405734 26.548462 26.588527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46410021-0.46405734) × R
    4.28700000000282e-05 × 6371000     		dl = 273.124770000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46410021-0.46405734) × R
    4.28700000000282e-05 × 6371000     		dr = 273.124770000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46331013-0.46335807) × cos(0.46410021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894224690075991 × 6371000     		do = 273.119237692867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46331013-0.46335807) × cos(0.46405734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894243878653715 × 6371000     		du = 273.125098378418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46410021)-sin(0.46405734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894224690075991-0.894243878653715)×R²
    abs(0.46335807-0.46331013)×1.91885777244272e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91885777244272e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91885777244272e-05×40589641000000     		ar = 74596.4293380813m²