Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75200 / 55744
↖ ↑ ↗
← N 25.958045°
E 26.542969°		 ← 274.56 m → N 25.958045°
E 26.545715°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 25.955575°
E 26.542969°		 ← 274.56 m →
75 391 m²		 N 25.955575°
E 26.545715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573734283447266 y=0.425296783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573734283447266 × 217)
    floor (0.573734283447266 × 131072)
    floor (75200.5)     		tx = 75200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425296783447266 × 217)
    floor (0.425296783447266 × 131072)
    floor (55744.5)     		ty = 55744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75200 / 55744 ti = "17/75200/55744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75200/55744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75200 ÷ 217
    75200 ÷ 131072     		x = 0.57373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55744 ÷ 217
    55744 ÷ 131072     		y = 0.42529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57373046875 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42529296875 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46939812107959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46326220} λ = 0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46939812107959))-π/2
    2×atan(1.59903148018709)-π/2
    2×1.011924836856-π/2
    2.02384967371201-1.57079632675     		φ = 0.45305335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45305335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.958045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75200 KachelY 55744 0.46326220 0.45305335 26.542969 25.958045
    Oben rechts KachelX + 1 75201 KachelY 55744 0.46331013 0.45305335 26.545715 25.958045
    Unten links KachelX 75200 KachelY + 1 55745 0.46326220 0.45301025 26.542969 25.955575
    Unten rechts KachelX + 1 75201 KachelY + 1 55745 0.46331013 0.45301025 26.545715 25.955575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45305335-0.45301025) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45305335-0.45301025) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46326220-0.46331013) × cos(0.45305335) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.89911480499604 × 6371000     		do = 274.555522056495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46326220-0.46331013) × cos(0.45301025) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.899133669586164 × 6371000     		du = 274.56128258603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45305335)-sin(0.45301025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89911480499604-0.899133669586164)×R²
    abs(0.46331013-0.46326220)×1.88645901241236e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88645901241236e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88645901241236e-05×40589641000000     		ar = 75391.0191608845m²