Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75200 / 55615
↖ ↑ ↗
← N 26.276177°
E 26.542969°		 ← 273.81 m → N 26.276177°
E 26.545715°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.273714°
E 26.542969°		 ← 273.81 m →
74 977 m²		 N 26.273714°
E 26.545715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573734283447266 y=0.424312591552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573734283447266 × 217)
    floor (0.573734283447266 × 131072)
    floor (75200.5)     		tx = 75200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424312591552734 × 217)
    floor (0.424312591552734 × 131072)
    floor (55615.5)     		ty = 55615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75200 / 55615 ti = "17/75200/55615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75200/55615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75200 ÷ 217
    75200 ÷ 131072     		x = 0.57373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55615 ÷ 217
    55615 ÷ 131072     		y = 0.424308776855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57373046875 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424308776855469 × 2 - 1) × π
    0.151382446289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.475581981130577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46326220} λ = 0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475581981130577))-π/2
    2×atan(1.6089503037781)-π/2
    2×1.01470106364981-π/2
    2.02940212729961-1.57079632675     		φ = 0.45860580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45860580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.276177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75200 KachelY 55615 0.46326220 0.45860580 26.542969 26.276177
    Oben rechts KachelX + 1 75201 KachelY 55615 0.46331013 0.45860580 26.545715 26.276177
    Unten links KachelX 75200 KachelY + 1 55616 0.46326220 0.45856282 26.542969 26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 75201 KachelY + 1 55616 0.46331013 0.45856282 26.545715 26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45860580-0.45856282) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45860580-0.45856282) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46326220-0.46331013) × cos(0.45860580) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896670578905305 × 6371000     		do = 273.80914821565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46326220-0.46331013) × cos(0.45856282) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 273.814958140205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45860580)-sin(0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896670578905305-0.896689605254309)×R²
    abs(0.46331013-0.46326220)×1.90263490039699e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90263490039699e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90263490039699e-05×40589641000000     		ar = 74976.7442839669m²