Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7520 / 7328
↖ ↑ ↗
← S 80.415708°
E150.468750°		 ← 813.59 m → S 80.415708°
E150.512695°		 →
↑
813.26 m
↓
↑
813.26 m
↓
S 80.423022°
E150.468750°		 ← 812.98 m →
661 411 m²		 S 80.423022°
E150.512695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91802978515625 y=0.89459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91802978515625 × 213)
    floor (0.91802978515625 × 8192)
    floor (7520.5)     		tx = 7520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89459228515625 × 213)
    floor (0.89459228515625 × 8192)
    floor (7328.5)     		ty = 7328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7520 / 7328 ti = "13/7520/7328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7520/7328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7520 ÷ 213
    7520 ÷ 8192     		x = 0.91796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7328 ÷ 213
    7328 ÷ 8192     		y = 0.89453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91796875 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62617511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89453125 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62617511} λ = 2.62617511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47891295315234))-π/2
    2×atan(0.0838343078979861)-π/2
    2×0.0836387307887637-π/2
    0.167277461577527-1.57079632675     		φ = -1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62617511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7520 KachelY 7328 2.62617511 -1.40351887 150.468750 -80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 7521 KachelY 7328 2.62694210 -1.40351887 150.512695 -80.415708
    Unten links KachelX 7520 KachelY + 1 7329 2.62617511 -1.40364652 150.468750 -80.423022
    Unten rechts KachelX + 1 7521 KachelY + 1 7329 2.62694210 -1.40364652 150.512695 -80.423022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40351887--1.40364652) × R
    0.000127649999999813 × 6371000     		dl = 813.258149998806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40351887--1.40364652) × R
    0.000127649999999813 × 6371000     		dr = 813.258149998806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62617511-2.62694210) × cos(-1.40351887) × R
    0.000766989999999801 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 813.59345249681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62617511-2.62694210) × cos(-1.40364652) × R
    0.000766989999999801 × 0.166372558680129 × 6371000     		du = 812.978391630371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40351887)-sin(-1.40364652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.166372558680129)×R²
    abs(2.62694210-2.62617511)×0.000125869581709598×R²
    0.000766989999999801×0.000125869581709598×6371000²
    0.000766989999999801×0.000125869581709598×40589641000000     		ar = 661411.405296829m²