Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7520 / 7327
↖ ↑ ↗
← S 80.408388°
E150.468750°		 ← 814.21 m → S 80.408388°
E150.512695°		 →
↑
813.96 m
↓
↑
813.96 m
↓
S 80.415708°
E150.468750°		 ← 813.59 m →
662 482 m²		 S 80.415708°
E150.512695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91802978515625 y=0.89447021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91802978515625 × 213)
    floor (0.91802978515625 × 8192)
    floor (7520.5)     		tx = 7520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89447021484375 × 213)
    floor (0.89447021484375 × 8192)
    floor (7327.5)     		ty = 7327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7520 / 7327 ti = "13/7520/7327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7520/7327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7520 ÷ 213
    7520 ÷ 8192     		x = 0.91796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7327 ÷ 213
    7327 ÷ 8192     		y = 0.8944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91796875 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62617511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8944091796875 × 2 - 1) × π
    -0.788818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47814596275842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62617511} λ = 2.62617511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47814596275842))-π/2
    2×atan(0.0838986326719133)-π/2
    2×0.0837026062889201-π/2
    0.16740521257784-1.57079632675     		φ = -1.40339111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62617511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40339111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.408388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7520 KachelY 7327 2.62617511 -1.40339111 150.468750 -80.408388
    Oben rechts KachelX + 1 7521 KachelY 7327 2.62694210 -1.40339111 150.512695 -80.408388
    Unten links KachelX 7520 KachelY + 1 7328 2.62617511 -1.40351887 150.468750 -80.415708
    Unten rechts KachelX + 1 7521 KachelY + 1 7328 2.62694210 -1.40351887 150.512695 -80.415708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40339111--1.40351887) × R
    0.000127760000000032 × 6371000     		dl = 813.958960000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40339111--1.40351887) × R
    0.000127760000000032 × 6371000     		dr = 813.958960000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62617511-2.62694210) × cos(-1.40339111) × R
    0.000766989999999801 × 0.166624403592785 × 6371000     		do = 814.209030106187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62617511-2.62694210) × cos(-1.40351887) × R
    0.000766989999999801 × 0.166498428261839 × 6371000     		du = 813.59345249681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40339111)-sin(-1.40351887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166624403592785-0.166498428261839)×R²
    abs(2.62694210-2.62617511)×0.000125975330946854×R²
    0.000766989999999801×0.000125975330946854×6371000²
    0.000766989999999801×0.000125975330946854×40589641000000     		ar = 662482.208812417m²