Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7520 / 5057
↖ ↑ ↗
← N 56.547372°
W 14.765625°		 ← 1 346.82 m → N 56.547372°
W 14.743653°		 →
↑
1 347.08 m
↓
↑
1 347.08 m
↓
N 56.535258°
W 14.765625°		 ← 1 347.25 m →
1 814 564 m²		 N 56.535258°
W 14.743653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459014892578125 y=0.308685302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459014892578125 × 214)
    floor (0.459014892578125 × 16384)
    floor (7520.5)     		tx = 7520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308685302734375 × 214)
    floor (0.308685302734375 × 16384)
    floor (5057.5)     		ty = 5057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7520 / 5057 ti = "14/7520/5057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7520/5057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7520 ÷ 214
    7520 ÷ 16384     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5057 ÷ 214
    5057 ÷ 16384     		y = 0.30865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30865478515625 × 2 - 1) × π
    0.3826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20225744247101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20225744247101))-π/2
    2×atan(3.32762036179116)-π/2
    2×1.2788670762262-π/2
    2.55773415245241-1.57079632675     		φ = 0.98693783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98693783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.547372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7520 KachelY 5057 -0.25770877 0.98693783 -14.765625 56.547372
    Oben rechts KachelX + 1 7521 KachelY 5057 -0.25732528 0.98693783 -14.743653 56.547372
    Unten links KachelX 7520 KachelY + 1 5058 -0.25770877 0.98672639 -14.765625 56.535258
    Unten rechts KachelX + 1 7521 KachelY + 1 5058 -0.25732528 0.98672639 -14.743653 56.535258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98693783-0.98672639) × R
    0.000211440000000063 × 6371000     		dl = 1347.0842400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98693783-0.98672639) × R
    0.000211440000000063 × 6371000     		dr = 1347.0842400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25732528) × cos(0.98693783) × R
    0.000383489999999986 × 0.551247337752711 × 6371000     		do = 1346.8156485455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25732528) × cos(0.98672639) × R
    0.000383489999999986 × 0.551423738676219 × 6371000     		du = 1347.24663389078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98693783)-sin(0.98672639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551247337752711-0.551423738676219)×R²
    abs(-0.25732528--0.25770877)×0.000176400923507458×R²
    0.000383489999999986×0.000176400923507458×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176400923507458×40589641000000     		ar = 1814564.42788445m²