Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75199 / 55743
↖ ↑ ↗
← N 25.960514°
E 26.540222°		 ← 274.61 m → N 25.960514°
E 26.542969°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 25.958045°
E 26.540222°		 ← 274.61 m →
75 405 m²		 N 25.958045°
E 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573726654052734 y=0.425289154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573726654052734 × 217)
    floor (0.573726654052734 × 131072)
    floor (75199.5)     		tx = 75199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425289154052734 × 217)
    floor (0.425289154052734 × 131072)
    floor (55743.5)     		ty = 55743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75199 / 55743 ti = "17/75199/55743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75199/55743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75199 ÷ 217
    75199 ÷ 131072     		x = 0.573722839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55743 ÷ 217
    55743 ÷ 131072     		y = 0.425285339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573722839355469 × 2 - 1) × π
    0.147445678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46321426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425285339355469 × 2 - 1) × π
    0.149429321289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.46944605797921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46321426} λ = 0.46321426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46944605797921))-π/2
    2×atan(1.59910813463592)-π/2
    2×1.01194638701802-π/2
    2.02389277403603-1.57079632675     		φ = 0.45309645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46321426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.540222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45309645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.960514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75199 KachelY 55743 0.46321426 0.45309645 26.540222 25.960514
    Oben rechts KachelX + 1 75200 KachelY 55743 0.46326220 0.45309645 26.542969 25.960514
    Unten links KachelX 75199 KachelY + 1 55744 0.46321426 0.45305335 26.540222 25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 75200 KachelY + 1 55744 0.46326220 0.45305335 26.542969 25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45309645-0.45305335) × R
    4.30999999999626e-05 × 6371000     		dl = 274.590099999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45309645-0.45305335) × R
    4.30999999999626e-05 × 6371000     		dr = 274.590099999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46321426-0.46326220) × cos(0.45309645) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899095938735711 × 6371000     		do = 274.607042419487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46321426-0.46326220) × cos(0.45305335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 274.612804661009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45309645)-sin(0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899095938735711-0.89911480499604)×R²
    abs(0.46326220-0.46321426)×1.88662603287648e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88662603287648e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88662603287648e-05×40589641000000     		ar = 75405.1663774865m²