Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75198 / 55886
↖ ↑ ↗
← N 25.606856°
E 26.537475°		 ← 275.43 m → N 25.606856°
E 26.540222°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.604379°
E 26.537475°		 ← 275.43 m →
75 858 m²		 N 25.604379°
E 26.540222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573719024658203 y=0.426380157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573719024658203 × 217)
    floor (0.573719024658203 × 131072)
    floor (75198.5)     		tx = 75198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426380157470703 × 217)
    floor (0.426380157470703 × 131072)
    floor (55886.5)     		ty = 55886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75198 / 55886 ti = "17/75198/55886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75198/55886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75198 ÷ 217
    75198 ÷ 131072     		x = 0.573715209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55886 ÷ 217
    55886 ÷ 131072     		y = 0.426376342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573715209960938 × 2 - 1) × π
    0.147430419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46316632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426376342773438 × 2 - 1) × π
    0.147247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.462591081333542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46316632} λ = 0.46316632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462591081333542))-π/2
    2×atan(1.58818377162434)-π/2
    2×1.00886013747867-π/2
    2.01772027495735-1.57079632675     		φ = 0.44692395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46316632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.537475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44692395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.606856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75198 KachelY 55886 0.46316632 0.44692395 26.537475 25.606856
    Oben rechts KachelX + 1 75199 KachelY 55886 0.46321426 0.44692395 26.540222 25.606856
    Unten links KachelX 75198 KachelY + 1 55887 0.46316632 0.44688072 26.537475 25.604379
    Unten rechts KachelX + 1 75199 KachelY + 1 55887 0.46321426 0.44688072 26.540222 25.604379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44692395-0.44688072) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44692395-0.44688072) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46316632-0.46321426) × cos(0.44692395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901780815924352 × 6371000     		do = 275.427073021319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46316632-0.46321426) × cos(0.44688072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901799498813644 × 6371000     		du = 275.432779256606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44692395)-sin(0.44688072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901780815924352-0.901799498813644)×R²
    abs(0.46321426-0.46316632)×1.86828892915214e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86828892915214e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86828892915214e-05×40589641000000     		ar = 75858.4503010309m²