Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75196 / 55884
↖ ↑ ↗
← N 25.611809°
E 26.531982°		 ← 275.42 m → N 25.611809°
E 26.534729°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
N 25.609333°
E 26.531982°		 ← 275.42 m →
75 838 m²		 N 25.609333°
E 26.534729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573703765869141 y=0.426364898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573703765869141 × 217)
    floor (0.573703765869141 × 131072)
    floor (75196.5)     		tx = 75196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426364898681641 × 217)
    floor (0.426364898681641 × 131072)
    floor (55884.5)     		ty = 55884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75196 / 55884 ti = "17/75196/55884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75196/55884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75196 ÷ 217
    75196 ÷ 131072     		x = 0.573699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55884 ÷ 217
    55884 ÷ 131072     		y = 0.426361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573699951171875 × 2 - 1) × π
    0.14739990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46307045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426361083984375 × 2 - 1) × π
    0.14727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.462686955132782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46307045} λ = 0.46307045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462686955132782))-π/2
    2×atan(1.58833604413577)-π/2
    2×1.00890336515951-π/2
    2.01780673031902-1.57079632675     		φ = 0.44701040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46307045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.531982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44701040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.611809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75196 KachelY 55884 0.46307045 0.44701040 26.531982 25.611809
    Oben rechts KachelX + 1 75197 KachelY 55884 0.46311839 0.44701040 26.534729 25.611809
    Unten links KachelX 75196 KachelY + 1 55885 0.46307045 0.44696718 26.531982 25.609333
    Unten rechts KachelX + 1 75197 KachelY + 1 55885 0.46311839 0.44696718 26.534729 25.609333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44701040-0.44696718) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dl = 275.354619999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44701040-0.44696718) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dr = 275.354619999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46307045-0.46311839) × cos(0.44701040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901743449412688 × 6371000     		do = 275.415660326842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46307045-0.46311839) × cos(0.44696718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901762131349783 × 6371000     		du = 275.421366271304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44701040)-sin(0.44696718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901743449412688-0.901762131349783)×R²
    abs(0.46311839-0.46307045)×1.86819370956437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86819370956437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86819370956437e-05×40589641000000     		ar = 75837.7600821462m²