Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75195 / 56948
↖ ↑ ↗
← N 22.948277°
E 26.529236°		 ← 281.25 m → N 22.948277°
E 26.531982°		 →
↑
281.22 m
↓
↑
281.22 m
↓
N 22.945748°
E 26.529236°		 ← 281.26 m →
79 094 m²		 N 22.945748°
E 26.531982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573696136474609 y=0.434482574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573696136474609 × 217)
    floor (0.573696136474609 × 131072)
    floor (75195.5)     		tx = 75195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434482574462891 × 217)
    floor (0.434482574462891 × 131072)
    floor (56948.5)     		ty = 56948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75195 / 56948 ti = "17/75195/56948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75195/56948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75195 ÷ 217
    75195 ÷ 131072     		x = 0.573692321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56948 ÷ 217
    56948 ÷ 131072     		y = 0.434478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573692321777344 × 2 - 1) × π
    0.147384643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46302251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434478759765625 × 2 - 1) × π
    0.13104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.411682093937042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46302251} λ = 0.46302251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411682093937042))-π/2
    2×atan(1.50935452709444)-π/2
    2×0.985659657797924-π/2
    1.97131931559585-1.57079632675     		φ = 0.40052299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46302251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.529236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40052299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.948277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75195 KachelY 56948 0.46302251 0.40052299 26.529236 22.948277
    Oben rechts KachelX + 1 75196 KachelY 56948 0.46307045 0.40052299 26.531982 22.948277
    Unten links KachelX 75195 KachelY + 1 56949 0.46302251 0.40047885 26.529236 22.945748
    Unten rechts KachelX + 1 75196 KachelY + 1 56949 0.46307045 0.40047885 26.531982 22.945748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40052299-0.40047885) × R
    4.41400000000258e-05 × 6371000     		dl = 281.215940000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40052299-0.40047885) × R
    4.41400000000258e-05 × 6371000     		dr = 281.215940000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46302251-0.46307045) × cos(0.40052299) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920857206149699 × 6371000     		do = 281.253493622746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46302251-0.46307045) × cos(0.40047885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920874415438389 × 6371000     		du = 281.258749782479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40052299)-sin(0.40047885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920857206149699-0.920874415438389)×R²
    abs(0.46307045-0.46302251)×1.72092886900899e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72092886900899e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72092886900899e-05×40589641000000     		ar = 79093.7046581905m²