Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75191 / 55943
↖ ↑ ↗
← N 25.465595°
E 26.518250°		 ← 275.69 m → N 25.465595°
E 26.520996°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 25.463115°
E 26.518250°		 ← 275.70 m →
76 020 m²		 N 25.463115°
E 26.520996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573665618896484 y=0.426815032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573665618896484 × 217)
    floor (0.573665618896484 × 131072)
    floor (75191.5)     		tx = 75191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426815032958984 × 217)
    floor (0.426815032958984 × 131072)
    floor (55943.5)     		ty = 55943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75191 / 55943 ti = "17/75191/55943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75191/55943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75191 ÷ 217
    75191 ÷ 131072     		x = 0.573661804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55943 ÷ 217
    55943 ÷ 131072     		y = 0.426811218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573661804199219 × 2 - 1) × π
    0.147323608398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.46283077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426811218261719 × 2 - 1) × π
    0.146377563476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.459858678055199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46283077} λ = 0.46283077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459858678055199))-π/2
    2×atan(1.58385013639595)-π/2
    2×1.007627396551-π/2
    2.015254793102-1.57079632675     		φ = 0.44445847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46283077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.518250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44445847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.465595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75191 KachelY 55943 0.46283077 0.44445847 26.518250 25.465595
    Oben rechts KachelX + 1 75192 KachelY 55943 0.46287870 0.44445847 26.520996 25.465595
    Unten links KachelX 75191 KachelY + 1 55944 0.46283077 0.44441519 26.518250 25.463115
    Unten rechts KachelX + 1 75192 KachelY + 1 55944 0.46287870 0.44441519 26.520996 25.463115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44445847-0.44441519) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44445847-0.44441519) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46283077-0.46287870) × cos(0.44445847) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.902843638893233 × 6371000     		do = 275.694166344874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46283077-0.46287870) × cos(0.44441519) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.902862247107108 × 6371000     		du = 275.699848586837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44445847)-sin(0.44441519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902843638893233-0.902862247107108)×R²
    abs(0.46287870-0.46283077)×1.86082138744492e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86082138744492e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86082138744492e-05×40589641000000     		ar = 76019.8326757946m²