Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7519 / 3796
↖ ↑ ↗
← N 69.005675°
W 14.787598°		 ← 875.37 m → N 69.005675°
W 14.765625°		 →
↑
875.50 m
↓
↑
875.50 m
↓
N 68.997801°
W 14.787598°		 ← 875.68 m →
766 523 m²		 N 68.997801°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458953857421875 y=0.231719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458953857421875 × 214)
    floor (0.458953857421875 × 16384)
    floor (7519.5)     		tx = 7519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231719970703125 × 214)
    floor (0.231719970703125 × 16384)
    floor (3796.5)     		ty = 3796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7519 / 3796 ti = "14/7519/3796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7519/3796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7519 ÷ 214
    7519 ÷ 16384     		x = 0.45892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3796 ÷ 214
    3796 ÷ 16384     		y = 0.231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.0821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25809227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231689453125 × 2 - 1) × π
    0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25809227} λ = -0.25809227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68584488583813))-π/2
    2×atan(5.39700886296947)-π/2
    2×1.38758628075994-π/2
    2.77517256151988-1.57079632675     		φ = 1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25809227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.787598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7519 KachelY 3796 -0.25809227 1.20437623 -14.787598 69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 7520 KachelY 3796 -0.25770877 1.20437623 -14.765625 69.005675
    Unten links KachelX 7519 KachelY + 1 3797 -0.25809227 1.20423881 -14.787598 68.997801
    Unten rechts KachelX + 1 7520 KachelY + 1 3797 -0.25770877 1.20423881 -14.765625 68.997801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20437623-1.20423881) × R
    0.000137419999999944 × 6371000     		dl = 875.502819999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20437623-1.20423881) × R
    0.000137419999999944 × 6371000     		dr = 875.502819999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25809227--0.25770877) × cos(1.20437623) × R
    0.000383500000000037 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 875.366778008799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25809227--0.25770877) × cos(1.20423881) × R
    0.000383500000000037 × 0.358403774381037 × 6371000     		du = 875.680236264123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20437623)-sin(1.20423881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.358403774381037)×R²
    abs(-0.25770877--0.25809227)×0.000128294116010008×R²
    0.000383500000000037×0.000128294116010008×6371000²
    0.000383500000000037×0.000128294116010008×40589641000000     		ar = 766523.300680205m²