Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75189 / 56385
↖ ↑ ↗
← N 24.364611°
E 26.512756°		 ← 278.22 m → N 24.364611°
E 26.515503°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
N 24.362110°
E 26.512756°		 ← 278.23 m →
77 391 m²		 N 24.362110°
E 26.515503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573650360107422 y=0.430187225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573650360107422 × 217)
    floor (0.573650360107422 × 131072)
    floor (75189.5)     		tx = 75189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430187225341797 × 217)
    floor (0.430187225341797 × 131072)
    floor (56385.5)     		ty = 56385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75189 / 56385 ti = "17/75189/56385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75189/56385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75189 ÷ 217
    75189 ÷ 131072     		x = 0.573646545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56385 ÷ 217
    56385 ÷ 131072     		y = 0.430183410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573646545410156 × 2 - 1) × π
    0.147293090820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46273489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430183410644531 × 2 - 1) × π
    0.139633178710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.438670568423134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46273489} λ = 0.46273489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438670568423134))-π/2
    2×atan(1.55064437201587)-π/2
    2×0.998019510258414-π/2
    1.99603902051683-1.57079632675     		φ = 0.42524269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46273489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.512756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42524269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.364611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75189 KachelY 56385 0.46273489 0.42524269 26.512756 24.364611
    Oben rechts KachelX + 1 75190 KachelY 56385 0.46278283 0.42524269 26.515503 24.364611
    Unten links KachelX 75189 KachelY + 1 56386 0.46273489 0.42519903 26.512756 24.362110
    Unten rechts KachelX + 1 75190 KachelY + 1 56386 0.46278283 0.42519903 26.515503 24.362110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42524269-0.42519903) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42524269-0.42519903) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46273489-0.46278283) × cos(0.42524269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910938639995116 × 6371000     		do = 278.22410821492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46273489-0.46278283) × cos(0.42519903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910956650704923 × 6371000     		du = 278.22960914929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42524269)-sin(0.42519903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910938639995116-0.910956650704923)×R²
    abs(0.46278283-0.46273489)×1.80107098068927e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80107098068927e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80107098068927e-05×40589641000000     		ar = 77390.9876178235m²