Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75188 / 56028
↖ ↑ ↗
← N 25.254633°
E 26.510010°		 ← 276.18 m → N 25.254633°
E 26.512756°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
N 25.252149°
E 26.510010°		 ← 276.18 m →
76 276 m²		 N 25.252149°
E 26.512756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573642730712891 y=0.427463531494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573642730712891 × 217)
    floor (0.573642730712891 × 131072)
    floor (75188.5)     		tx = 75188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427463531494141 × 217)
    floor (0.427463531494141 × 131072)
    floor (56028.5)     		ty = 56028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75188 / 56028 ti = "17/75188/56028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75188/56028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75188 ÷ 217
    75188 ÷ 131072     		x = 0.573638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56028 ÷ 217
    56028 ÷ 131072     		y = 0.427459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573638916015625 × 2 - 1) × π
    0.14727783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46268696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427459716796875 × 2 - 1) × π
    0.14508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.455784041587494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46268696} λ = 0.46268696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455784041587494))-π/2
    2×atan(1.57740965309563)-π/2
    2×1.00578640868965-π/2
    2.0115728173793-1.57079632675     		φ = 0.44077649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46268696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.510010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44077649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.254633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75188 KachelY 56028 0.46268696 0.44077649 26.510010 25.254633
    Oben rechts KachelX + 1 75189 KachelY 56028 0.46273489 0.44077649 26.512756 25.254633
    Unten links KachelX 75188 KachelY + 1 56029 0.46268696 0.44073314 26.510010 25.252149
    Unten rechts KachelX + 1 75189 KachelY + 1 56029 0.46273489 0.44073314 26.512756 25.252149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44077649-0.44073314) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dl = 276.182849999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44077649-0.44073314) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dr = 276.182849999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46268696-0.46273489) × cos(0.44077649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904420652763984 × 6371000     		do = 276.175726502104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46268696-0.46273489) × cos(0.44073314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904439146839117 × 6371000     		du = 276.18137389043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44077649)-sin(0.44073314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904420652763984-0.904439146839117)×R²
    abs(0.46273489-0.46268696)×1.84940751337681e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84940751337681e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84940751337681e-05×40589641000000     		ar = 76275.7791140596m²