Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75187 / 56379
↖ ↑ ↗
← N 24.379622°
E 26.507263°		 ← 278.19 m → N 24.379622°
E 26.510010°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
N 24.377121°
E 26.507263°		 ← 278.20 m →
77 382 m²		 N 24.377121°
E 26.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573635101318359 y=0.430141448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573635101318359 × 217)
    floor (0.573635101318359 × 131072)
    floor (75187.5)     		tx = 75187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430141448974609 × 217)
    floor (0.430141448974609 × 131072)
    floor (56379.5)     		ty = 56379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75187 / 56379 ti = "17/75187/56379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75187/56379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75187 ÷ 217
    75187 ÷ 131072     		x = 0.573631286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56379 ÷ 217
    56379 ÷ 131072     		y = 0.430137634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573631286621094 × 2 - 1) × π
    0.147262573242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46263902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430137634277344 × 2 - 1) × π
    0.139724731445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.438958189820854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46263902} λ = 0.46263902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438958189820854))-π/2
    2×atan(1.55109043466303)-π/2
    2×0.998150505207317-π/2
    1.99630101041463-1.57079632675     		φ = 0.42550468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46263902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.507263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42550468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.379622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75187 KachelY 56379 0.46263902 0.42550468 26.507263 24.379622
    Oben rechts KachelX + 1 75188 KachelY 56379 0.46268696 0.42550468 26.510010 24.379622
    Unten links KachelX 75187 KachelY + 1 56380 0.46263902 0.42546102 26.507263 24.377121
    Unten rechts KachelX + 1 75188 KachelY + 1 56380 0.46268696 0.42546102 26.510010 24.377121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42550468-0.42546102) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42550468-0.42546102) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46263902-0.46268696) × cos(0.42550468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91083052688909 × 6371000     		do = 278.191087689508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46263902-0.46268696) × cos(0.42546102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910848548018138 × 6371000     		du = 278.196591806183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42550468)-sin(0.42546102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91083052688909-0.910848548018138)×R²
    abs(0.46268696-0.46263902)×1.80211290481402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80211290481402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80211290481402e-05×40589641000000     		ar = 77381.80314178m²