Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75187 / 55858
↖ ↑ ↗
← N 25.676187°
E 26.507263°		 ← 275.27 m → N 25.676187°
E 26.510010°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 25.673711°
E 26.507263°		 ← 275.27 m →
75 779 m²		 N 25.673711°
E 26.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573635101318359 y=0.426166534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573635101318359 × 217)
    floor (0.573635101318359 × 131072)
    floor (75187.5)     		tx = 75187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426166534423828 × 217)
    floor (0.426166534423828 × 131072)
    floor (55858.5)     		ty = 55858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75187 / 55858 ti = "17/75187/55858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75187/55858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75187 ÷ 217
    75187 ÷ 131072     		x = 0.573631286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55858 ÷ 217
    55858 ÷ 131072     		y = 0.426162719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573631286621094 × 2 - 1) × π
    0.147262573242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46263902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426162719726562 × 2 - 1) × π
    0.147674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.463933314522903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46263902} λ = 0.46263902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463933314522903))-π/2
    2×atan(1.59031691586166)-π/2
    2×1.00946516189611-π/2
    2.01893032379222-1.57079632675     		φ = 0.44813400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46263902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.507263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44813400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.676187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75187 KachelY 55858 0.46263902 0.44813400 26.507263 25.676187
    Oben rechts KachelX + 1 75188 KachelY 55858 0.46268696 0.44813400 26.510010 25.676187
    Unten links KachelX 75187 KachelY + 1 55859 0.46263902 0.44809079 26.507263 25.673711
    Unten rechts KachelX + 1 75188 KachelY + 1 55859 0.46268696 0.44809079 26.510010 25.673711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44813400-0.44809079) × R
    4.32099999999602e-05 × 6371000     		dl = 275.290909999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44813400-0.44809079) × R
    4.32099999999602e-05 × 6371000     		dr = 275.290909999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46263902-0.46268696) × cos(0.44813400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901257179910169 × 6371000     		do = 275.267141104196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46263902-0.46268696) × cos(0.44809079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901275901293919 × 6371000     		du = 275.272859096681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44813400)-sin(0.44809079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901257179910169-0.901275901293919)×R²
    abs(0.46268696-0.46263902)×1.8721383749587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8721383749587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8721383749587e-05×40589641000000     		ar = 75779.328835114m²