Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75185 / 56115
↖ ↑ ↗
← N 25.038327°
E 26.501770°		 ← 276.72 m → N 25.038327°
E 26.504517°		 →
↑
276.76 m
↓
↑
276.76 m
↓
N 25.035838°
E 26.501770°		 ← 276.73 m →
76 586 m²		 N 25.035838°
E 26.504517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573619842529297 y=0.428127288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573619842529297 × 217)
    floor (0.573619842529297 × 131072)
    floor (75185.5)     		tx = 75185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428127288818359 × 217)
    floor (0.428127288818359 × 131072)
    floor (56115.5)     		ty = 56115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75185 / 56115 ti = "17/75185/56115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75185/56115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75185 ÷ 217
    75185 ÷ 131072     		x = 0.573616027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56115 ÷ 217
    56115 ÷ 131072     		y = 0.428123474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573616027832031 × 2 - 1) × π
    0.147232055664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46254314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428123474121094 × 2 - 1) × π
    0.143753051757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.451613531320549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46254314} λ = 0.46254314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451613531320549))-π/2
    2×atan(1.57084474895764)-π/2
    2×1.00389878652055-π/2
    2.00779757304111-1.57079632675     		φ = 0.43700125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46254314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.501770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43700125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.038327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75185 KachelY 56115 0.46254314 0.43700125 26.501770 25.038327
    Oben rechts KachelX + 1 75186 KachelY 56115 0.46259108 0.43700125 26.504517 25.038327
    Unten links KachelX 75185 KachelY + 1 56116 0.46254314 0.43695781 26.501770 25.035838
    Unten rechts KachelX + 1 75186 KachelY + 1 56116 0.46259108 0.43695781 26.504517 25.035838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43700125-0.43695781) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dl = 276.756240000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43700125-0.43695781) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dr = 276.756240000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46254314-0.46259108) × cos(0.43700125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906024879289174 × 6371000     		do = 276.723319215125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46254314-0.46259108) × cos(0.43695781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906043263303556 × 6371000     		du = 276.728934166322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43700125)-sin(0.43695781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906024879289174-0.906043263303556)×R²
    abs(0.46259108-0.46254314)×1.83840143817005e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83840143817005e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83840143817005e-05×40589641000000     		ar = 76585.6823446902m²