Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75184 / 55920
↖ ↑ ↗
← N 25.522615°
E 26.499024°		 ← 275.56 m → N 25.522615°
E 26.501770°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.520136°
E 26.499024°		 ← 275.57 m →
75 949 m²		 N 25.520136°
E 26.501770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573612213134766 y=0.426639556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573612213134766 × 217)
    floor (0.573612213134766 × 131072)
    floor (75184.5)     		tx = 75184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426639556884766 × 217)
    floor (0.426639556884766 × 131072)
    floor (55920.5)     		ty = 55920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75184 / 55920 ti = "17/75184/55920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75184/55920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75184 ÷ 217
    75184 ÷ 131072     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55920 ÷ 217
    55920 ÷ 131072     		y = 0.4266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4266357421875 × 2 - 1) × π
    0.146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46096122674646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46096122674646))-π/2
    2×atan(1.58559737131978)-π/2
    2×1.00812499305088-π/2
    2.01624998610177-1.57079632675     		φ = 0.44545366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44545366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.522615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75184 KachelY 55920 0.46249521 0.44545366 26.499024 25.522615
    Oben rechts KachelX + 1 75185 KachelY 55920 0.46254314 0.44545366 26.501770 25.522615
    Unten links KachelX 75184 KachelY + 1 55921 0.46249521 0.44541040 26.499024 25.520136
    Unten rechts KachelX + 1 75185 KachelY + 1 55921 0.46254314 0.44541040 26.501770 25.520136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44545366-0.44541040) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44545366-0.44541040) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46254314) × cos(0.44545366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90241529099888 × 6371000     		do = 275.563365162627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46254314) × cos(0.44541040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90243392947449 × 6371000     		du = 275.569056645376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44545366)-sin(0.44541040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90241529099888-0.90243392947449)×R²
    abs(0.46254314-0.46249521)×1.86384756103442e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86384756103442e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86384756103442e-05×40589641000000     		ar = 75948.6545933413m²