Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75184 / 55856
↖ ↑ ↗
← N 25.681137°
E 26.499024°		 ← 275.20 m → N 25.681137°
E 26.501770°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 25.678662°
E 26.499024°		 ← 275.20 m →
75 743 m²		 N 25.678662°
E 26.501770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573612213134766 y=0.426151275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573612213134766 × 217)
    floor (0.573612213134766 × 131072)
    floor (75184.5)     		tx = 75184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426151275634766 × 217)
    floor (0.426151275634766 × 131072)
    floor (55856.5)     		ty = 55856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75184 / 55856 ti = "17/75184/55856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75184/55856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75184 ÷ 217
    75184 ÷ 131072     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55856 ÷ 217
    55856 ÷ 131072     		y = 0.4261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464029188322144))-π/2
    2×atan(1.59046939289554)-π/2
    2×1.00950836447375-π/2
    2.0190167289475-1.57079632675     		φ = 0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75184 KachelY 55856 0.46249521 0.44822040 26.499024 25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 75185 KachelY 55856 0.46254314 0.44822040 26.501770 25.681137
    Unten links KachelX 75184 KachelY + 1 55857 0.46249521 0.44817720 26.499024 25.678662
    Unten rechts KachelX + 1 75185 KachelY + 1 55857 0.46254314 0.44817720 26.501770 25.678662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44822040-0.44817720) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dl = 275.227200000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44822040-0.44817720) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dr = 275.227200000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46254314) × cos(0.44822040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 275.198289515244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46254314) × cos(0.44817720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901238461176913 × 6371000     		du = 275.204006019227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44822040)-sin(0.44817720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901238461176913)×R²
    abs(0.46254314-0.46249521)×1.87204151830267e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87204151830267e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87204151830267e-05×40589641000000     		ar = 75742.8413485995m²