Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75184 / 55696
↖ ↑ ↗
← N 26.076520°
E 26.499024°		 ← 274.28 m → N 26.076520°
E 26.501770°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
N 26.074053°
E 26.499024°		 ← 274.28 m →
75 245 m²		 N 26.074053°
E 26.501770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573612213134766 y=0.424930572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573612213134766 × 217)
    floor (0.573612213134766 × 131072)
    floor (75184.5)     		tx = 75184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424930572509766 × 217)
    floor (0.424930572509766 × 131072)
    floor (55696.5)     		ty = 55696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75184 / 55696 ti = "17/75184/55696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75184/55696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75184 ÷ 217
    75184 ÷ 131072     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55696 ÷ 217
    55696 ÷ 131072     		y = 0.4249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4249267578125 × 2 - 1) × π
    0.150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.471699092261353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471699092261353))-π/2
    2×atan(1.60271504180108)-π/2
    2×1.01295873400814-π/2
    2.02591746801629-1.57079632675     		φ = 0.45512114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45512114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.076520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75184 KachelY 55696 0.46249521 0.45512114 26.499024 26.076520
    Oben rechts KachelX + 1 75185 KachelY 55696 0.46254314 0.45512114 26.501770 26.076520
    Unten links KachelX 75184 KachelY + 1 55697 0.46249521 0.45507808 26.499024 26.074053
    Unten rechts KachelX + 1 75185 KachelY + 1 55697 0.46254314 0.45507808 26.501770 26.074053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45512114-0.45507808) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dl = 274.335259999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45512114-0.45507808) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dr = 274.335259999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46254314) × cos(0.45512114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.898207785123052 × 6371000     		do = 274.278552627147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46254314) × cos(0.45507808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.898226712223016 × 6371000     		du = 274.284332244814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45512114)-sin(0.45507808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898207785123052-0.898226712223016)×R²
    abs(0.46254314-0.46249521)×1.89270999643165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89270999643165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89270999643165e-05×40589641000000     		ar = 75245.0708354633m²