Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75183 / 55601
↖ ↑ ↗
← N 26.310651°
E 26.496277°		 ← 273.78 m → N 26.310651°
E 26.499024°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.308189°
E 26.496277°		 ← 273.79 m →
74 953 m²		 N 26.308189°
E 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573604583740234 y=0.424205780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573604583740234 × 217)
    floor (0.573604583740234 × 131072)
    floor (75183.5)     		tx = 75183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424205780029297 × 217)
    floor (0.424205780029297 × 131072)
    floor (55601.5)     		ty = 55601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75183 / 55601 ti = "17/75183/55601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75183/55601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75183 ÷ 217
    75183 ÷ 131072     		x = 0.573600769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55601 ÷ 217
    55601 ÷ 131072     		y = 0.424201965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573600769042969 × 2 - 1) × π
    0.147201538085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46244727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424201965332031 × 2 - 1) × π
    0.151596069335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.476253097725258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46244727} λ = 0.46244727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476253097725258))-π/2
    2×atan(1.61003045944163)-π/2
    2×1.0150019041919-π/2
    2.03000380838379-1.57079632675     		φ = 0.45920748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46244727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.496277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45920748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.310651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75183 KachelY 55601 0.46244727 0.45920748 26.496277 26.310651
    Oben rechts KachelX + 1 75184 KachelY 55601 0.46249521 0.45920748 26.499024 26.310651
    Unten links KachelX 75183 KachelY + 1 55602 0.46244727 0.45916451 26.496277 26.308189
    Unten rechts KachelX + 1 75184 KachelY + 1 55602 0.46249521 0.45916451 26.499024 26.308189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45920748-0.45916451) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45920748-0.45916451) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46244727-0.46249521) × cos(0.45920748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896404053842553 × 6371000     		do = 273.784871483682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46244727-0.46249521) × cos(0.45916451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896423098944451 × 6371000     		du = 273.790688348023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45920748)-sin(0.45916451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896404053842553-0.896423098944451)×R²
    abs(0.46249521-0.46244727)×1.90451018977633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90451018977633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90451018977633e-05×40589641000000     		ar = 74952.6546243561m²