Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75181 / 55709
↖ ↑ ↗
← N 26.044445°
E 26.490784°		 ← 274.35 m → N 26.044445°
E 26.493530°		 →
↑
274.40 m
↓
↑
274.40 m
↓
N 26.041977°
E 26.490784°		 ← 274.36 m →
75 283 m²		 N 26.041977°
E 26.493530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573589324951172 y=0.425029754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573589324951172 × 217)
    floor (0.573589324951172 × 131072)
    floor (75181.5)     		tx = 75181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425029754638672 × 217)
    floor (0.425029754638672 × 131072)
    floor (55709.5)     		ty = 55709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75181 / 55709 ti = "17/75181/55709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75181/55709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75181 ÷ 217
    75181 ÷ 131072     		x = 0.573585510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55709 ÷ 217
    55709 ÷ 131072     		y = 0.425025939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573585510253906 × 2 - 1) × π
    0.147171020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.46235140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425025939941406 × 2 - 1) × π
    0.149948120117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.471075912566292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46235140} λ = 0.46235140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471075912566292))-π/2
    2×atan(1.60171657347497)-π/2
    2×1.01267882325963-π/2
    2.02535764651927-1.57079632675     		φ = 0.45456132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46235140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.490784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45456132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.044445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75181 KachelY 55709 0.46235140 0.45456132 26.490784 26.044445
    Oben rechts KachelX + 1 75182 KachelY 55709 0.46239933 0.45456132 26.493530 26.044445
    Unten links KachelX 75181 KachelY + 1 55710 0.46235140 0.45451825 26.490784 26.041977
    Unten rechts KachelX + 1 75182 KachelY + 1 55710 0.46239933 0.45451825 26.493530 26.041977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45456132-0.45451825) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dl = 274.398969999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45456132-0.45451825) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dr = 274.398969999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46235140-0.46239933) × cos(0.45456132) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.89845372506946 × 6371000     		do = 274.353653348122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46235140-0.46239933) × cos(0.45451825) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898472634904465 × 6371000     		du = 274.359427693726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45456132)-sin(0.45451825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89845372506946-0.898472634904465)×R²
    abs(0.46239933-0.46235140)×1.89098350052985e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89098350052985e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89098350052985e-05×40589641000000     		ar = 75283.1521432242m²