Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75180 / 55602
↖ ↑ ↗
← N 26.308189°
E 26.488037°		 ← 273.79 m → N 26.308189°
E 26.490784°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.305727°
E 26.488037°		 ← 273.80 m →
74 954 m²		 N 26.305727°
E 26.490784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573581695556641 y=0.424213409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573581695556641 × 217)
    floor (0.573581695556641 × 131072)
    floor (75180.5)     		tx = 75180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424213409423828 × 217)
    floor (0.424213409423828 × 131072)
    floor (55602.5)     		ty = 55602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75180 / 55602 ti = "17/75180/55602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75180/55602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75180 ÷ 217
    75180 ÷ 131072     		x = 0.573577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55602 ÷ 217
    55602 ÷ 131072     		y = 0.424209594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573577880859375 × 2 - 1) × π
    0.14715576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46230346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424209594726562 × 2 - 1) × π
    0.151580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.476205160825638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46230346} λ = 0.46230346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476205160825638))-π/2
    2×atan(1.60995328142297)-π/2
    2×1.01498041854809-π/2
    2.02996083709618-1.57079632675     		φ = 0.45916451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46230346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.488037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45916451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.308189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75180 KachelY 55602 0.46230346 0.45916451 26.488037 26.308189
    Oben rechts KachelX + 1 75181 KachelY 55602 0.46235140 0.45916451 26.490784 26.308189
    Unten links KachelX 75180 KachelY + 1 55603 0.46230346 0.45912154 26.488037 26.305727
    Unten rechts KachelX + 1 75181 KachelY + 1 55603 0.46235140 0.45912154 26.490784 26.305727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45916451-0.45912154) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dl = 273.761870000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45916451-0.45912154) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dr = 273.761870000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46230346-0.46235140) × cos(0.45916451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896423098944451 × 6371000     		do = 273.79068834834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46230346-0.46235140) × cos(0.45912154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896442142391174 × 6371000     		du = 273.796504707147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45916451)-sin(0.45912154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896423098944451-0.896442142391174)×R²
    abs(0.46235140-0.46230346)×1.90434467234324e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90434467234324e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90434467234324e-05×40589641000000     		ar = 74954.2469909935m²