Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7518 / 10456
↖ ↑ ↗
← S 44.465151°
W 14.809570°		 ← 1 743.67 m → S 44.465151°
W 14.787598°		 →
↑
1 743.42 m
↓
↑
1 743.42 m
↓
S 44.480830°
W 14.809570°		 ← 1 743.20 m →
3 039 540 m²		 S 44.480830°
W 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458892822265625 y=0.638214111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458892822265625 × 214)
    floor (0.458892822265625 × 16384)
    floor (7518.5)     		tx = 7518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638214111328125 × 214)
    floor (0.638214111328125 × 16384)
    floor (10456.5)     		ty = 10456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7518 / 10456 ti = "14/7518/10456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7518/10456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7518 ÷ 214
    7518 ÷ 16384     		x = 0.4588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10456 ÷ 214
    10456 ÷ 16384     		y = 0.63818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.868233125918457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25847576} λ = -0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868233125918457))-π/2
    2×atan(0.419692438217441)-π/2
    2×0.397366519615098-π/2
    0.794733039230196-1.57079632675     		φ = -0.77606329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77606329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.465151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7518 KachelY 10456 -0.25847576 -0.77606329 -14.809570 -44.465151
    Oben rechts KachelX + 1 7519 KachelY 10456 -0.25809227 -0.77606329 -14.787598 -44.465151
    Unten links KachelX 7518 KachelY + 1 10457 -0.25847576 -0.77633694 -14.809570 -44.480830
    Unten rechts KachelX + 1 7519 KachelY + 1 10457 -0.25809227 -0.77633694 -14.787598 -44.480830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77606329--0.77633694) × R
    0.000273650000000014 × 6371000     		dl = 1743.42415000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77606329--0.77633694) × R
    0.000273650000000014 × 6371000     		dr = 1743.42415000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25847576--0.25809227) × cos(-0.77606329) × R
    0.000383489999999986 × 0.713676629233332 × 6371000     		do = 1743.66529582016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25847576--0.25809227) × cos(-0.77633694) × R
    0.000383489999999986 × 0.713484917443796 × 6371000     		du = 1743.19690274055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77606329)-sin(-0.77633694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713676629233332-0.713484917443796)×R²
    abs(-0.25809227--0.25847576)×0.000191711789535809×R²
    0.000383489999999986×0.000191711789535809×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191711789535809×40589641000000     		ar = 3039539.90131412m²