Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75179 / 56914
↖ ↑ ↗
← N 23.034242°
E 26.485290°		 ← 281.07 m → N 23.034242°
E 26.488037°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
N 23.031715°
E 26.485290°		 ← 281.08 m →
78 990 m²		 N 23.031715°
E 26.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573574066162109 y=0.434223175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573574066162109 × 217)
    floor (0.573574066162109 × 131072)
    floor (75179.5)     		tx = 75179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434223175048828 × 217)
    floor (0.434223175048828 × 131072)
    floor (56914.5)     		ty = 56914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75179 / 56914 ti = "17/75179/56914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75179/56914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75179 ÷ 217
    75179 ÷ 131072     		x = 0.573570251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56914 ÷ 217
    56914 ÷ 131072     		y = 0.434219360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573570251464844 × 2 - 1) × π
    0.147140502929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46225552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434219360351562 × 2 - 1) × π
    0.131561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.413311948524124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46225552} λ = 0.46225552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413311948524124))-π/2
    2×atan(1.51181656132784)-π/2
    2×0.98640985079577-π/2
    1.97281970159154-1.57079632675     		φ = 0.40202337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46225552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.485290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40202337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.034242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75179 KachelY 56914 0.46225552 0.40202337 26.485290 23.034242
    Oben rechts KachelX + 1 75180 KachelY 56914 0.46230346 0.40202337 26.488037 23.034242
    Unten links KachelX 75179 KachelY + 1 56915 0.46225552 0.40197926 26.485290 23.031715
    Unten rechts KachelX + 1 75180 KachelY + 1 56915 0.46230346 0.40197926 26.488037 23.031715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40202337-0.40197926) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40202337-0.40197926) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46225552-0.46230346) × cos(0.40202337) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92027117172599 × 6371000     		do = 281.074503625219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46225552-0.46230346) × cos(0.40197926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92028843024404 × 6371000     		du = 281.079774820866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40202337)-sin(0.40197926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92027117172599-0.92028843024404)×R²
    abs(0.46230346-0.46225552)×1.72585180505669e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72585180505669e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72585180505669e-05×40589641000000     		ar = 78989.6496582682m²