Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75179 / 55814
↖ ↑ ↗
← N 25.785053°
E 26.485290°		 ← 275.02 m → N 25.785053°
E 26.488037°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
N 25.782581°
E 26.485290°		 ← 275.02 m →
75 622 m²		 N 25.782581°
E 26.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573574066162109 y=0.425830841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573574066162109 × 217)
    floor (0.573574066162109 × 131072)
    floor (75179.5)     		tx = 75179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425830841064453 × 217)
    floor (0.425830841064453 × 131072)
    floor (55814.5)     		ty = 55814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75179 / 55814 ti = "17/75179/55814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75179/55814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75179 ÷ 217
    75179 ÷ 131072     		x = 0.573570251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55814 ÷ 217
    55814 ÷ 131072     		y = 0.425827026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573570251464844 × 2 - 1) × π
    0.147140502929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46225552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425827026367188 × 2 - 1) × π
    0.148345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.466042538106186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46225552} λ = 0.46225552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466042538106186))-π/2
    2×atan(1.59367478981407)-π/2
    2×1.01041520358986-π/2
    2.02083040717971-1.57079632675     		φ = 0.45003408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46225552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.485290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45003408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.785053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75179 KachelY 55814 0.46225552 0.45003408 26.485290 25.785053
    Oben rechts KachelX + 1 75180 KachelY 55814 0.46230346 0.45003408 26.488037 25.785053
    Unten links KachelX 75179 KachelY + 1 55815 0.46225552 0.44999092 26.485290 25.782581
    Unten rechts KachelX + 1 75180 KachelY + 1 55815 0.46230346 0.44999092 26.488037 25.782581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45003408-0.44999092) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45003408-0.44999092) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46225552-0.46230346) × cos(0.45003408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900432278204367 × 6371000     		do = 275.015194890593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46225552-0.46230346) × cos(0.44999092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900451051802607 × 6371000     		du = 275.020928830728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45003408)-sin(0.44999092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900432278204367-0.900451051802607)×R²
    abs(0.46230346-0.46225552)×1.87735982405401e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87735982405401e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87735982405401e-05×40589641000000     		ar = 75622.3655241845m²