Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75178 / 56902
↖ ↑ ↗
← N 23.064570°
E 26.482544°		 ← 280.95 m → N 23.064570°
E 26.485290°		 →
↑
280.96 m
↓
↑
280.96 m
↓
N 23.062043°
E 26.482544°		 ← 280.96 m →
78 937 m²		 N 23.062043°
E 26.485290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573566436767578 y=0.434131622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573566436767578 × 217)
    floor (0.573566436767578 × 131072)
    floor (75178.5)     		tx = 75178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434131622314453 × 217)
    floor (0.434131622314453 × 131072)
    floor (56902.5)     		ty = 56902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75178 / 56902 ti = "17/75178/56902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75178/56902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75178 ÷ 217
    75178 ÷ 131072     		x = 0.573562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56902 ÷ 217
    56902 ÷ 131072     		y = 0.434127807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573562622070312 × 2 - 1) × π
    0.147125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46220759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434127807617188 × 2 - 1) × π
    0.131744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.413887191319565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46220759} λ = 0.46220759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413887191319565))-π/2
    2×atan(1.51268647309402)-π/2
    2×0.986674510677399-π/2
    1.9733490213548-1.57079632675     		φ = 0.40255269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46220759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.482544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40255269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.064570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75178 KachelY 56902 0.46220759 0.40255269 26.482544 23.064570
    Oben rechts KachelX + 1 75179 KachelY 56902 0.46225552 0.40255269 26.485290 23.064570
    Unten links KachelX 75178 KachelY + 1 56903 0.46220759 0.40250859 26.482544 23.062043
    Unten rechts KachelX + 1 75179 KachelY + 1 56903 0.46225552 0.40250859 26.485290 23.062043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40255269-0.40250859) × R
    4.40999999999914e-05 × 6371000     		dl = 280.961099999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40255269-0.40250859) × R
    4.40999999999914e-05 × 6371000     		dr = 280.961099999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46220759-0.46225552) × cos(0.40255269) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.920063929854971 × 6371000     		do = 280.952589350138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46220759-0.46225552) × cos(0.40250859) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.920081205940299 × 6371000     		du = 280.957864810624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40255269)-sin(0.40250859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920063929854971-0.920081205940299)×R²
    abs(0.46225552-0.46220759)×1.72760853287546e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.72760853287546e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.72760853287546e-05×40589641000000     		ar = 78937.489664041m²