Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75178 / 55798
↖ ↑ ↗
← N 25.824617°
E 26.482544°		 ← 274.87 m → N 25.824617°
E 26.485290°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.822144°
E 26.482544°		 ← 274.87 m →
75 564 m²		 N 25.822144°
E 26.485290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573566436767578 y=0.425708770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573566436767578 × 217)
    floor (0.573566436767578 × 131072)
    floor (75178.5)     		tx = 75178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425708770751953 × 217)
    floor (0.425708770751953 × 131072)
    floor (55798.5)     		ty = 55798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75178 / 55798 ti = "17/75178/55798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75178/55798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75178 ÷ 217
    75178 ÷ 131072     		x = 0.573562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55798 ÷ 217
    55798 ÷ 131072     		y = 0.425704956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573562622070312 × 2 - 1) × π
    0.147125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46220759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425704956054688 × 2 - 1) × π
    0.148590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.466809528500107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46220759} λ = 0.46220759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466809528500107))-π/2
    2×atan(1.59489759194769)-π/2
    2×1.01076045741814-π/2
    2.02152091483628-1.57079632675     		φ = 0.45072459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46220759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.482544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45072459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.824617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75178 KachelY 55798 0.46220759 0.45072459 26.482544 25.824617
    Oben rechts KachelX + 1 75179 KachelY 55798 0.46225552 0.45072459 26.485290 25.824617
    Unten links KachelX 75178 KachelY + 1 55799 0.46220759 0.45068144 26.482544 25.822144
    Unten rechts KachelX + 1 75179 KachelY + 1 55799 0.46225552 0.45068144 26.485290 25.822144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45072459-0.45068144) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45072459-0.45068144) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46220759-0.46225552) × cos(0.45072459) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900131694322733 × 6371000     		do = 274.866041445579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46220759-0.46225552) × cos(0.45068144) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900150490396038 × 6371000     		du = 274.87178105268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45072459)-sin(0.45068144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900131694322733-0.900150490396038)×R²
    abs(0.46225552-0.46220759)×1.87960733055714e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87960733055714e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87960733055714e-05×40589641000000     		ar = 75563.8413300945m²