Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75178 / 55721
↖ ↑ ↗
← N 26.014830°
E 26.482544°		 ← 274.42 m → N 26.014830°
E 26.485290°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 26.012361°
E 26.482544°		 ← 274.43 m →
75 320 m²		 N 26.012361°
E 26.485290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573566436767578 y=0.425121307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573566436767578 × 217)
    floor (0.573566436767578 × 131072)
    floor (75178.5)     		tx = 75178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425121307373047 × 217)
    floor (0.425121307373047 × 131072)
    floor (55721.5)     		ty = 55721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75178 / 55721 ti = "17/75178/55721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75178/55721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75178 ÷ 217
    75178 ÷ 131072     		x = 0.573562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55721 ÷ 217
    55721 ÷ 131072     		y = 0.425117492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573562622070312 × 2 - 1) × π
    0.147125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46220759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425117492675781 × 2 - 1) × π
    0.149765014648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.470500669770851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46220759} λ = 0.46220759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470500669770851))-π/2
    2×atan(1.60079546251236)-π/2
    2×1.01242037611818-π/2
    2.02484075223637-1.57079632675     		φ = 0.45404443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46220759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.482544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45404443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.014830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75178 KachelY 55721 0.46220759 0.45404443 26.482544 26.014830
    Oben rechts KachelX + 1 75179 KachelY 55721 0.46225552 0.45404443 26.485290 26.014830
    Unten links KachelX 75178 KachelY + 1 55722 0.46220759 0.45400135 26.482544 26.012361
    Unten rechts KachelX + 1 75179 KachelY + 1 55722 0.46225552 0.45400135 26.485290 26.012361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45404443-0.45400135) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dl = 274.462679999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45404443-0.45400135) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dr = 274.462679999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46220759-0.46225552) × cos(0.45404443) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898680555010516 × 6371000     		do = 274.422918599388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46220759-0.46225552) × cos(0.45400135) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898699449226653 × 6371000     		du = 274.428688175583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45404443)-sin(0.45400135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898680555010516-0.898699449226653)×R²
    abs(0.46225552-0.46220759)×1.88942161368777e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88942161368777e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88942161368777e-05×40589641000000     		ar = 75319.6414704613m²