Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75176 / 57000
↖ ↑ ↗
← N 22.816694°
E 26.477051°		 ← 281.53 m → N 22.816694°
E 26.479797°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 22.814162°
E 26.477051°		 ← 281.53 m →
79 260 m²		 N 22.814162°
E 26.479797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573551177978516 y=0.434879302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573551177978516 × 217)
    floor (0.573551177978516 × 131072)
    floor (75176.5)     		tx = 75176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434879302978516 × 217)
    floor (0.434879302978516 × 131072)
    floor (57000.5)     		ty = 57000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75176 / 57000 ti = "17/75176/57000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75176/57000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75176 ÷ 217
    75176 ÷ 131072     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57000 ÷ 217
    57000 ÷ 131072     		y = 0.43487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43487548828125 × 2 - 1) × π
    0.1302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.409189375156799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.409189375156799))-π/2
    2×atan(1.50559681612282)-π/2
    2×0.984511381859486-π/2
    1.96902276371897-1.57079632675     		φ = 0.39822644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39822644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.816694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75176 KachelY 57000 0.46211171 0.39822644 26.477051 22.816694
    Oben rechts KachelX + 1 75177 KachelY 57000 0.46215965 0.39822644 26.479797 22.816694
    Unten links KachelX 75176 KachelY + 1 57001 0.46211171 0.39818225 26.477051 22.814162
    Unten rechts KachelX + 1 75177 KachelY + 1 57001 0.46215965 0.39818225 26.479797 22.814162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39822644-0.39818225) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dl = 281.534489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39822644-0.39818225) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dr = 281.534489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46215965) × cos(0.39822644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921750201830751 × 6371000     		do = 281.526237489122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46215965) × cos(0.39818225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921767337113408 × 6371000     		du = 281.531471045507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39822644)-sin(0.39818225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921750201830751-0.921767337113408)×R²
    abs(0.46215965-0.46211171)×1.71352826565663e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71352826565663e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71352826565663e-05×40589641000000     		ar = 79260.082419259m²