Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75176 / 55848
↖ ↑ ↗
← N 25.700938°
E 26.477051°		 ← 275.21 m → N 25.700938°
E 26.479797°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 25.698463°
E 26.477051°		 ← 275.22 m →
75 746 m²		 N 25.698463°
E 26.479797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573551177978516 y=0.426090240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573551177978516 × 217)
    floor (0.573551177978516 × 131072)
    floor (75176.5)     		tx = 75176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426090240478516 × 217)
    floor (0.426090240478516 × 131072)
    floor (55848.5)     		ty = 55848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75176 / 55848 ti = "17/75176/55848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75176/55848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75176 ÷ 217
    75176 ÷ 131072     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55848 ÷ 217
    55848 ÷ 131072     		y = 0.42608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42608642578125 × 2 - 1) × π
    0.1478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.464412683519104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464412683519104))-π/2
    2×atan(1.5910794472376)-π/2
    2×1.00968115683234-π/2
    2.01936231366467-1.57079632675     		φ = 0.44856599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44856599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.700938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75176 KachelY 55848 0.46211171 0.44856599 26.477051 25.700938
    Oben rechts KachelX + 1 75177 KachelY 55848 0.46215965 0.44856599 26.479797 25.700938
    Unten links KachelX 75176 KachelY + 1 55849 0.46211171 0.44852279 26.477051 25.698463
    Unten rechts KachelX + 1 75177 KachelY + 1 55849 0.46215965 0.44852279 26.479797 25.698463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44856599-0.44852279) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dl = 275.227200000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44856599-0.44852279) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dr = 275.227200000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46215965) × cos(0.44856599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901069921231817 × 6371000     		do = 275.209947483789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46215965) × cos(0.44852279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90108865510077 × 6371000     		du = 275.215669289577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44856599)-sin(0.44852279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901069921231817-0.90108865510077)×R²
    abs(0.46215965-0.46211171)×1.87338689537908e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87338689537908e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87338689537908e-05×40589641000000     		ar = 75746.0506681927m²