Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75176 / 55656
↖ ↑ ↗
← N 26.175159°
E 26.477051°		 ← 274.10 m → N 26.175159°
E 26.479797°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
N 26.172694°
E 26.477051°		 ← 274.11 m →
75 127 m²		 N 26.172694°
E 26.479797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573551177978516 y=0.424625396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573551177978516 × 217)
    floor (0.573551177978516 × 131072)
    floor (75176.5)     		tx = 75176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424625396728516 × 217)
    floor (0.424625396728516 × 131072)
    floor (55656.5)     		ty = 55656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75176 / 55656 ti = "17/75176/55656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75176/55656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75176 ÷ 217
    75176 ÷ 131072     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55656 ÷ 217
    55656 ÷ 131072     		y = 0.42462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42462158203125 × 2 - 1) × π
    0.1507568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.473616568246155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473616568246155))-π/2
    2×atan(1.60579115765085)-π/2
    2×1.01381951669718-π/2
    2.02763903339435-1.57079632675     		φ = 0.45684271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45684271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.175159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75176 KachelY 55656 0.46211171 0.45684271 26.477051 26.175159
    Oben rechts KachelX + 1 75177 KachelY 55656 0.46215965 0.45684271 26.479797 26.175159
    Unten links KachelX 75176 KachelY + 1 55657 0.46211171 0.45679969 26.477051 26.172694
    Unten rechts KachelX + 1 75177 KachelY + 1 55657 0.46215965 0.45679969 26.479797 26.172694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45684271-0.45679969) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dl = 274.08042000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45684271-0.45679969) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dr = 274.08042000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46215965) × cos(0.45684271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897449701978355 × 6371000     		do = 274.104239339339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46215965) × cos(0.45679969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897468677992678 × 6371000     		du = 274.110035102556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45684271)-sin(0.45679969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897449701978355-0.897468677992678)×R²
    abs(0.46215965-0.46211171)×1.89760143232132e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89760143232132e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89760143232132e-05×40589641000000     		ar = 75127.3993060818m²