Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75174 / 57003
↖ ↑ ↗
← N 22.809099°
E 26.471558°		 ← 281.54 m → N 22.809099°
E 26.474304°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 22.806567°
E 26.471558°		 ← 281.55 m →
79 265 m²		 N 22.806567°
E 26.474304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573535919189453 y=0.434902191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573535919189453 × 217)
    floor (0.573535919189453 × 131072)
    floor (75174.5)     		tx = 75174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434902191162109 × 217)
    floor (0.434902191162109 × 131072)
    floor (57003.5)     		ty = 57003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75174 / 57003 ti = "17/75174/57003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75174/57003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75174 ÷ 217
    75174 ÷ 131072     		x = 0.573532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57003 ÷ 217
    57003 ÷ 131072     		y = 0.434898376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573532104492188 × 2 - 1) × π
    0.147064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46201584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434898376464844 × 2 - 1) × π
    0.130203247070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.409045564457939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46201584} λ = 0.46201584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.409045564457939))-π/2
    2×atan(1.50538031076076)-π/2
    2×0.984445101241109-π/2
    1.96889020248222-1.57079632675     		φ = 0.39809388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46201584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.471558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39809388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.809099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75174 KachelY 57003 0.46201584 0.39809388 26.471558 22.809099
    Oben rechts KachelX + 1 75175 KachelY 57003 0.46206378 0.39809388 26.474304 22.809099
    Unten links KachelX 75174 KachelY + 1 57004 0.46201584 0.39804969 26.471558 22.806567
    Unten rechts KachelX + 1 75175 KachelY + 1 57004 0.46206378 0.39804969 26.474304 22.806567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39809388-0.39804969) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dl = 281.534489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39809388-0.39804969) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dr = 281.534489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46201584-0.46206378) × cos(0.39809388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921801598402107 × 6371000     		do = 281.541935324962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46201584-0.46206378) × cos(0.39804969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92181872828511 × 6371000     		du = 281.547167232154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39809388)-sin(0.39804969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921801598402107-0.92181872828511)×R²
    abs(0.46206378-0.46201584)×1.71298830031752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71298830031752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71298830031752e-05×40589641000000     		ar = 79264.5016694568m²