Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75174 / 55972
↖ ↑ ↗
← N 25.393661°
E 26.471558°		 ← 275.92 m → N 25.393661°
E 26.474304°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 25.391179°
E 26.471558°		 ← 275.92 m →
76 134 m²		 N 25.391179°
E 26.474304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573535919189453 y=0.427036285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573535919189453 × 217)
    floor (0.573535919189453 × 131072)
    floor (75174.5)     		tx = 75174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427036285400391 × 217)
    floor (0.427036285400391 × 131072)
    floor (55972.5)     		ty = 55972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75174 / 55972 ti = "17/75174/55972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75174/55972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75174 ÷ 217
    75174 ÷ 131072     		x = 0.573532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55972 ÷ 217
    55972 ÷ 131072     		y = 0.427032470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573532104492188 × 2 - 1) × π
    0.147064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46201584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427032470703125 × 2 - 1) × π
    0.14593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.458468507966217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46201584} λ = 0.46201584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458468507966217))-π/2
    2×atan(1.58164984505485)-π/2
    2×1.00699965601281-π/2
    2.01399931202563-1.57079632675     		φ = 0.44320299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46201584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.471558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44320299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.393661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75174 KachelY 55972 0.46201584 0.44320299 26.471558 25.393661
    Oben rechts KachelX + 1 75175 KachelY 55972 0.46206378 0.44320299 26.474304 25.393661
    Unten links KachelX 75174 KachelY + 1 55973 0.46201584 0.44315968 26.471558 25.391179
    Unten rechts KachelX + 1 75175 KachelY + 1 55973 0.46206378 0.44315968 26.474304 25.391179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44320299-0.44315968) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44320299-0.44315968) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46201584-0.46206378) × cos(0.44320299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903382744720218 × 6371000     		do = 275.916343309223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46201584-0.46206378) × cos(0.44315968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903401316724845 × 6371000     		du = 275.922015677479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44320299)-sin(0.44315968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903382744720218-0.903401316724845)×R²
    abs(0.46206378-0.46201584)×1.85720046264048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85720046264048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85720046264048e-05×40589641000000     		ar = 76133.8301303963m²