Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75172 / 55844
↖ ↑ ↗
← N 25.710837°
E 26.466064°		 ← 275.19 m → N 25.710837°
E 26.468811°		 →
↑
275.16 m
↓
↑
275.16 m
↓
N 25.708362°
E 26.466064°		 ← 275.19 m →
75 722 m²		 N 25.708362°
E 26.468811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573520660400391 y=0.426059722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573520660400391 × 217)
    floor (0.573520660400391 × 131072)
    floor (75172.5)     		tx = 75172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426059722900391 × 217)
    floor (0.426059722900391 × 131072)
    floor (55844.5)     		ty = 55844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75172 / 55844 ti = "17/75172/55844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75172/55844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75172 ÷ 217
    75172 ÷ 131072     		x = 0.573516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55844 ÷ 217
    55844 ÷ 131072     		y = 0.426055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573516845703125 × 2 - 1) × π
    0.14703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46191996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426055908203125 × 2 - 1) × π
    0.14788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.464604431117584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46191996} λ = 0.46191996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464604431117584))-π/2
    2×atan(1.5913845621522)-π/2
    2×1.00976754223699-π/2
    2.01953508447398-1.57079632675     		φ = 0.44873876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46191996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44873876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.710837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75172 KachelY 55844 0.46191996 0.44873876 26.466064 25.710837
    Oben rechts KachelX + 1 75173 KachelY 55844 0.46196790 0.44873876 26.468811 25.710837
    Unten links KachelX 75172 KachelY + 1 55845 0.46191996 0.44869557 26.466064 25.708362
    Unten rechts KachelX + 1 75173 KachelY + 1 55845 0.46196790 0.44869557 26.468811 25.708362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44873876-0.44869557) × R
    4.31900000000263e-05 × 6371000     		dl = 275.163490000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44873876-0.44869557) × R
    4.31900000000263e-05 × 6371000     		dr = 275.163490000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46191996-0.46196790) × cos(0.44873876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900994981955109 × 6371000     		do = 275.187059099745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46191996-0.46196790) × cos(0.44869557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901013718211231 × 6371000     		du = 275.192781634636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44873876)-sin(0.44869557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900994981955109-0.901013718211231)×R²
    abs(0.46196790-0.46191996)×1.87362561213655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87362561213655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87362561213655e-05×40589641000000     		ar = 75722.2189128808m²