Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75171 / 55907
↖ ↑ ↗
← N 25.554832°
E 26.463318°		 ← 275.49 m → N 25.554832°
E 26.466064°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 25.552353°
E 26.463318°		 ← 275.50 m →
75 911 m²		 N 25.552353°
E 26.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573513031005859 y=0.426540374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573513031005859 × 217)
    floor (0.573513031005859 × 131072)
    floor (75171.5)     		tx = 75171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426540374755859 × 217)
    floor (0.426540374755859 × 131072)
    floor (55907.5)     		ty = 55907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75171 / 55907 ti = "17/75171/55907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75171/55907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75171 ÷ 217
    75171 ÷ 131072     		x = 0.573509216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55907 ÷ 217
    55907 ÷ 131072     		y = 0.426536560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573509216308594 × 2 - 1) × π
    0.147018432617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46187203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426536560058594 × 2 - 1) × π
    0.146926879882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.461584406441521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46187203} λ = 0.46187203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461584406441521))-π/2
    2×atan(1.58658579135578)-π/2
    2×1.0084061387325-π/2
    2.016812277465-1.57079632675     		φ = 0.44601595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46187203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.463318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44601595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.554832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75171 KachelY 55907 0.46187203 0.44601595 26.463318 25.554832
    Oben rechts KachelX + 1 75172 KachelY 55907 0.46191996 0.44601595 26.466064 25.554832
    Unten links KachelX 75171 KachelY + 1 55908 0.46187203 0.44597270 26.463318 25.552353
    Unten rechts KachelX + 1 75172 KachelY + 1 55908 0.46191996 0.44597270 26.466064 25.552353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44601595-0.44597270) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44601595-0.44597270) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46187203-0.46191996) × cos(0.44601595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902172875971125 × 6371000     		do = 275.48934081765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46187203-0.46191996) × cos(0.44597270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902191532081608 × 6371000     		du = 275.495037685419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44601595)-sin(0.44597270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902172875971125-0.902191532081608)×R²
    abs(0.46191996-0.46187203)×1.86561104830174e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86561104830174e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86561104830174e-05×40589641000000     		ar = 75910.701918216m²