Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75170 / 55714
↖ ↑ ↗
← N 26.032106°
E 26.460571°		 ← 274.44 m → N 26.032106°
E 26.463318°		 →
↑
274.40 m
↓
↑
274.40 m
↓
N 26.029638°
E 26.460571°		 ← 274.45 m →
75 307 m²		 N 26.029638°
E 26.463318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573505401611328 y=0.425067901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573505401611328 × 217)
    floor (0.573505401611328 × 131072)
    floor (75170.5)     		tx = 75170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425067901611328 × 217)
    floor (0.425067901611328 × 131072)
    floor (55714.5)     		ty = 55714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75170 / 55714 ti = "17/75170/55714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75170/55714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75170 ÷ 217
    75170 ÷ 131072     		x = 0.573501586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55714 ÷ 217
    55714 ÷ 131072     		y = 0.425064086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573501586914062 × 2 - 1) × π
    0.147003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46182409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425064086914062 × 2 - 1) × π
    0.149871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.470836228068192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46182409} λ = 0.46182409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470836228068192))-π/2
    2×atan(1.60133271284651)-π/2
    2×1.01257114487955-π/2
    2.0251422897591-1.57079632675     		φ = 0.45434596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46182409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.460571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45434596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.032106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75170 KachelY 55714 0.46182409 0.45434596 26.460571 26.032106
    Oben rechts KachelX + 1 75171 KachelY 55714 0.46187203 0.45434596 26.463318 26.032106
    Unten links KachelX 75170 KachelY + 1 55715 0.46182409 0.45430289 26.460571 26.029638
    Unten rechts KachelX + 1 75171 KachelY + 1 55715 0.46187203 0.45430289 26.463318 26.029638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45434596-0.45430289) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dl = 274.398969999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45434596-0.45430289) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dr = 274.398969999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46182409-0.46187203) × cos(0.45434596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898548261965991 × 6371000     		do = 274.439767836497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46182409-0.46187203) × cos(0.45430289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898567163466813 × 6371000     		du = 274.445540841373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45434596)-sin(0.45430289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898548261965991-0.898567163466813)×R²
    abs(0.46187203-0.46182409)×1.89015008220661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89015008220661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89015008220661e-05×40589641000000     		ar = 75306.7816862225m²