Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7517 / 7900
↖ ↑ ↗
← N 79.468576°
W138.707885°		 ← 111.64 m → N 79.468576°
W138.702393°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
N 79.467573°
W138.707885°		 ← 111.65 m →
12 461 m²		 N 79.467573°
W138.702393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114707946777344 y=0.120552062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114707946777344 × 216)
    floor (0.114707946777344 × 65536)
    floor (7517.5)     		tx = 7517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120552062988281 × 216)
    floor (0.120552062988281 × 65536)
    floor (7900.5)     		ty = 7900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7517 / 7900 ti = "16/7517/7900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7517/7900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7517 ÷ 216
    7517 ÷ 65536     		x = 0.114700317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7900 ÷ 216
    7900 ÷ 65536     		y = 0.12054443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114700317382812 × 2 - 1) × π
    -0.770599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42090930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12054443359375 × 2 - 1) × π
    0.7589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38418963950311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42090930} λ = -2.42090930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38418963950311))-π/2
    2×atan(10.8502664740278)-π/2
    2×1.47889231992704-π/2
    2.95778463985408-1.57079632675     		φ = 1.38698831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42090930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.707885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38698831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.468576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7517 KachelY 7900 -2.42090930 1.38698831 -138.707885 79.468576
    Oben rechts KachelX + 1 7518 KachelY 7900 -2.42081343 1.38698831 -138.702393 79.468576
    Unten links KachelX 7517 KachelY + 1 7901 -2.42090930 1.38697079 -138.707885 79.467573
    Unten rechts KachelX + 1 7518 KachelY + 1 7901 -2.42081343 1.38697079 -138.702393 79.467573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38698831-1.38697079) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38698831-1.38697079) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42090930--2.42081343) × cos(1.38698831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182774759625247 × 6371000     		do = 111.636587843788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42090930--2.42081343) × cos(1.38697079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182791984469527 × 6371000     		du = 111.647108568014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38698831)-sin(1.38697079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182774759625247-0.182791984469527)×R²
    abs(-2.42081343--2.42090930)×1.72248442797673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72248442797673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72248442797673e-05×40589641000000     		ar = 12461.4541660324m²