Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7517 / 3774
↖ ↑ ↗
← N 69.178184°
W 14.831543°		 ← 868.49 m → N 69.178184°
W 14.809570°		 →
↑
868.62 m
↓
↑
868.62 m
↓
N 69.170373°
W 14.831543°		 ← 868.81 m →
754 529 m²		 N 69.170373°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458831787109375 y=0.230377197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458831787109375 × 214)
    floor (0.458831787109375 × 16384)
    floor (7517.5)     		tx = 7517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230377197265625 × 214)
    floor (0.230377197265625 × 16384)
    floor (3774.5)     		ty = 3774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7517 / 3774 ti = "14/7517/3774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7517/3774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7517 ÷ 214
    7517 ÷ 16384     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3774 ÷ 214
    3774 ÷ 16384     		y = 0.2303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2303466796875 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69428178017126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69428178017126))-π/2
    2×atan(5.44273548054239)-π/2
    2×1.38909170786603-π/2
    2.77818341573206-1.57079632675     		φ = 1.20738709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20738709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.178184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7517 KachelY 3774 -0.25885926 1.20738709 -14.831543 69.178184
    Oben rechts KachelX + 1 7518 KachelY 3774 -0.25847576 1.20738709 -14.809570 69.178184
    Unten links KachelX 7517 KachelY + 1 3775 -0.25885926 1.20725075 -14.831543 69.170373
    Unten rechts KachelX + 1 7518 KachelY + 1 3775 -0.25847576 1.20725075 -14.809570 69.170373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20738709-1.20725075) × R
    0.000136340000000068 × 6371000     		dl = 868.622140000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20738709-1.20725075) × R
    0.000136340000000068 × 6371000     		dr = 868.622140000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25847576) × cos(1.20738709) × R
    0.000383499999999981 × 0.355462873760431 × 6371000     		do = 868.494797007033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25847576) × cos(1.20725075) × R
    0.000383499999999981 × 0.355590306145506 × 6371000     		du = 868.80614981369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20738709)-sin(1.20725075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355462873760431-0.355590306145506)×R²
    abs(-0.25847576--0.25885926)×0.000127432385074733×R²
    0.000383499999999981×0.000127432385074733×6371000²
    0.000383499999999981×0.000127432385074733×40589641000000     		ar = 754529.034293803m²