Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7517 / 10710
↖ ↑ ↗
← S 48.312428°
W 14.831543°		 ← 1 624.95 m → S 48.312428°
W 14.809570°		 →
↑
1 624.67 m
↓
↑
1 624.67 m
↓
S 48.327039°
W 14.831543°		 ← 1 624.48 m →
2 639 623 m²		 S 48.327039°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458831787109375 y=0.653717041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458831787109375 × 214)
    floor (0.458831787109375 × 16384)
    floor (7517.5)     		tx = 7517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653717041015625 × 214)
    floor (0.653717041015625 × 16384)
    floor (10710.5)     		ty = 10710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7517 / 10710 ti = "14/7517/10710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7517/10710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7517 ÷ 214
    7517 ÷ 16384     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10710 ÷ 214
    10710 ÷ 16384     		y = 0.6536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.965640905946411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965640905946411))-π/2
    2×atan(0.38073910357084)-π/2
    2×0.363792695127408-π/2
    0.727585390254817-1.57079632675     		φ = -0.84321094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84321094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.312428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7517 KachelY 10710 -0.25885926 -0.84321094 -14.831543 -48.312428
    Oben rechts KachelX + 1 7518 KachelY 10710 -0.25847576 -0.84321094 -14.809570 -48.312428
    Unten links KachelX 7517 KachelY + 1 10711 -0.25885926 -0.84346595 -14.831543 -48.327039
    Unten rechts KachelX + 1 7518 KachelY + 1 10711 -0.25847576 -0.84346595 -14.809570 -48.327039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84321094--0.84346595) × R
    0.000255010000000055 × 6371000     		dl = 1624.66871000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84321094--0.84346595) × R
    0.000255010000000055 × 6371000     		dr = 1624.66871000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25847576) × cos(-0.84321094) × R
    0.000383499999999981 × 0.665068384757071 × 6371000     		do = 1624.9472855066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25847576) × cos(-0.84346595) × R
    0.000383499999999981 × 0.664877926139102 × 6371000     		du = 1624.48194206018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84321094)-sin(-0.84346595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665068384757071-0.664877926139102)×R²
    abs(-0.25847576--0.25885926)×0.000190458617968625×R²
    0.000383499999999981×0.000190458617968625×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190458617968625×40589641000000     		ar = 2639623.00999838m²