Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7517 / 10455
↖ ↑ ↗
← S 44.449468°
W 14.831543°		 ← 1 744.18 m → S 44.449468°
W 14.809570°		 →
↑
1 743.93 m
↓
↑
1 743.93 m
↓
S 44.465151°
W 14.831543°		 ← 1 743.71 m →
3 041 325 m²		 S 44.465151°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458831787109375 y=0.638153076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458831787109375 × 214)
    floor (0.458831787109375 × 16384)
    floor (7517.5)     		tx = 7517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638153076171875 × 214)
    floor (0.638153076171875 × 16384)
    floor (10455.5)     		ty = 10455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7517 / 10455 ti = "14/7517/10455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7517/10455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7517 ÷ 214
    7517 ÷ 16384     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10455 ÷ 214
    10455 ÷ 16384     		y = 0.63812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.2762451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.867849630721497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867849630721497))-π/2
    2×atan(0.419853419117426)-π/2
    2×0.397503383775476-π/2
    0.795006767550952-1.57079632675     		φ = -0.77578956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77578956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.449468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7517 KachelY 10455 -0.25885926 -0.77578956 -14.831543 -44.449468
    Oben rechts KachelX + 1 7518 KachelY 10455 -0.25847576 -0.77578956 -14.809570 -44.449468
    Unten links KachelX 7517 KachelY + 1 10456 -0.25885926 -0.77606329 -14.831543 -44.465151
    Unten rechts KachelX + 1 7518 KachelY + 1 10456 -0.25847576 -0.77606329 -14.809570 -44.465151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77578956--0.77606329) × R
    0.000273729999999972 × 6371000     		dl = 1743.93382999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77578956--0.77606329) × R
    0.000273729999999972 × 6371000     		dr = 1743.93382999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25847576) × cos(-0.77578956) × R
    0.000383499999999981 × 0.713868343602074 × 6371000     		do = 1744.17917575347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25847576) × cos(-0.77606329) × R
    0.000383499999999981 × 0.713676629233332 × 6371000     		du = 1743.71076415818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77578956)-sin(-0.77606329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713868343602074-0.713676629233332)×R²
    abs(-0.25847576--0.25885926)×0.000191714368742435×R²
    0.000383499999999981×0.000191714368742435×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191714368742435×40589641000000     		ar = 3041324.64975511m²