Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75168 / 55838
↖ ↑ ↗
← N 25.725684°
E 26.455078°		 ← 275.10 m → N 25.725684°
E 26.457824°		 →
↑
275.16 m
↓
↑
275.16 m
↓
N 25.723210°
E 26.455078°		 ← 275.10 m →
75 697 m²		 N 25.723210°
E 26.457824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573490142822266 y=0.426013946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573490142822266 × 217)
    floor (0.573490142822266 × 131072)
    floor (75168.5)     		tx = 75168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426013946533203 × 217)
    floor (0.426013946533203 × 131072)
    floor (55838.5)     		ty = 55838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75168 / 55838 ti = "17/75168/55838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75168/55838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75168 ÷ 217
    75168 ÷ 131072     		x = 0.573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55838 ÷ 217
    55838 ÷ 131072     		y = 0.426010131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573486328125 × 2 - 1) × π
    0.14697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46172822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426010131835938 × 2 - 1) × π
    0.147979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.464892052515305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46172822} λ = 0.46172822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464892052515305))-π/2
    2×atan(1.59184234423508)-π/2
    2×1.00989710687009-π/2
    2.01979421374018-1.57079632675     		φ = 0.44899789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46172822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44899789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.725684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75168 KachelY 55838 0.46172822 0.44899789 26.455078 25.725684
    Oben rechts KachelX + 1 75169 KachelY 55838 0.46177615 0.44899789 26.457824 25.725684
    Unten links KachelX 75168 KachelY + 1 55839 0.46172822 0.44895470 26.455078 25.723210
    Unten rechts KachelX + 1 75169 KachelY + 1 55839 0.46177615 0.44895470 26.457824 25.723210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44899789-0.44895470) × R
    4.31900000000263e-05 × 6371000     		dl = 275.163490000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44899789-0.44895470) × R
    4.31900000000263e-05 × 6371000     		dr = 275.163490000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46172822-0.46177615) × cos(0.44899789) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.90088253346565 × 6371000     		do = 275.095319210464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46172822-0.46177615) × cos(0.44895470) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900901279805025 × 6371000     		du = 275.10104363071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44899789)-sin(0.44895470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90088253346565-0.900901279805025)×R²
    abs(0.46177615-0.46172822)×1.8746339374931e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.8746339374931e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.8746339374931e-05×40589641000000     		ar = 75696.9757041191m²