Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75167 / 55902
↖ ↑ ↗
← N 25.567221°
E 26.452332°		 ← 275.52 m → N 25.567221°
E 26.455078°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 25.564743°
E 26.452332°		 ← 275.52 m →
75 919 m²		 N 25.564743°
E 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573482513427734 y=0.426502227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573482513427734 × 217)
    floor (0.573482513427734 × 131072)
    floor (75167.5)     		tx = 75167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426502227783203 × 217)
    floor (0.426502227783203 × 131072)
    floor (55902.5)     		ty = 55902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75167 / 55902 ti = "17/75167/55902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75167/55902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75167 ÷ 217
    75167 ÷ 131072     		x = 0.573478698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55902 ÷ 217
    55902 ÷ 131072     		y = 0.426498413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573478698730469 × 2 - 1) × π
    0.146957397460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46168028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426498413085938 × 2 - 1) × π
    0.147003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.461824090939621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46168028} λ = 0.46168028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461824090939621))-π/2
    2×atan(1.58696611695213)-π/2
    2×1.00851425156892-π/2
    2.01702850313783-1.57079632675     		φ = 0.44623218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46168028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.452332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44623218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.567221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75167 KachelY 55902 0.46168028 0.44623218 26.452332 25.567221
    Oben rechts KachelX + 1 75168 KachelY 55902 0.46172822 0.44623218 26.455078 25.567221
    Unten links KachelX 75167 KachelY + 1 55903 0.46168028 0.44618893 26.452332 25.564743
    Unten rechts KachelX + 1 75168 KachelY + 1 55903 0.46172822 0.44618893 26.455078 25.564743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44623218-0.44618893) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44623218-0.44618893) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46168028-0.46172822) × cos(0.44623218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902079578737242 × 6371000     		do = 275.518322874849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46168028-0.46172822) × cos(0.44618893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902098243284449 × 6371000     		du = 275.524023507991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44623218)-sin(0.44618893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902079578737242-0.902098243284449)×R²
    abs(0.46172822-0.46168028)×1.86645472073366e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86645472073366e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86645472073366e-05×40589641000000     		ar = 75918.6883197219m²