Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75164 / 55964
↖ ↑ ↗
← N 25.413509°
E 26.444092°		 ← 275.87 m → N 25.413509°
E 26.446839°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
N 25.411028°
E 26.444092°		 ← 275.88 m →
76 104 m²		 N 25.411028°
E 26.446839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573459625244141 y=0.426975250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573459625244141 × 217)
    floor (0.573459625244141 × 131072)
    floor (75164.5)     		tx = 75164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426975250244141 × 217)
    floor (0.426975250244141 × 131072)
    floor (55964.5)     		ty = 55964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75164 / 55964 ti = "17/75164/55964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75164/55964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75164 ÷ 217
    75164 ÷ 131072     		x = 0.573455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55964 ÷ 217
    55964 ÷ 131072     		y = 0.426971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573455810546875 × 2 - 1) × π
    0.14691162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46153647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426971435546875 × 2 - 1) × π
    0.14605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.458852003163177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46153647} λ = 0.46153647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458852003163177))-π/2
    2×atan(1.58225651649406)-π/2
    2×1.00717286323865-π/2
    2.01434572647731-1.57079632675     		φ = 0.44354940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46153647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.444092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44354940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.413509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75164 KachelY 55964 0.46153647 0.44354940 26.444092 25.413509
    Oben rechts KachelX + 1 75165 KachelY 55964 0.46158441 0.44354940 26.446839 25.413509
    Unten links KachelX 75164 KachelY + 1 55965 0.46153647 0.44350610 26.444092 25.411028
    Unten rechts KachelX + 1 75165 KachelY + 1 55965 0.46158441 0.44350610 26.446839 25.411028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44354940-0.44350610) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dl = 275.864299999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44354940-0.44350610) × R
    4.32999999999684e-05 × 6371000     		dr = 275.864299999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46153647-0.46158441) × cos(0.44354940) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903234137723578 × 6371000     		do = 275.870954907624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46153647-0.46158441) × cos(0.44350610) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903252718989606 × 6371000     		du = 275.876630104551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44354940)-sin(0.44350610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903234137723578-0.903252718989606)×R²
    abs(0.46158441-0.46153647)×1.85812660280504e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85812660280504e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85812660280504e-05×40589641000000     		ar = 76103.7306698369m²