Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75163 / 55853
↖ ↑ ↗
← N 25.688563°
E 26.441345°		 ← 275.24 m → N 25.688563°
E 26.444092°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 25.686088°
E 26.441345°		 ← 275.24 m →
75 754 m²		 N 25.686088°
E 26.444092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573451995849609 y=0.426128387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573451995849609 × 217)
    floor (0.573451995849609 × 131072)
    floor (75163.5)     		tx = 75163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426128387451172 × 217)
    floor (0.426128387451172 × 131072)
    floor (55853.5)     		ty = 55853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75163 / 55853 ti = "17/75163/55853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75163/55853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75163 ÷ 217
    75163 ÷ 131072     		x = 0.573448181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55853 ÷ 217
    55853 ÷ 131072     		y = 0.426124572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573448181152344 × 2 - 1) × π
    0.146896362304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46148853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426124572753906 × 2 - 1) × π
    0.147750854492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.464172999021004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46148853} λ = 0.46148853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464172999021004))-π/2
    2×atan(1.59069813585789)-π/2
    2×1.0095731649746-π/2
    2.0191463299492-1.57079632675     		φ = 0.44835000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46148853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.441345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44835000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.688563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75163 KachelY 55853 0.46148853 0.44835000 26.441345 25.688563
    Oben rechts KachelX + 1 75164 KachelY 55853 0.46153647 0.44835000 26.444092 25.688563
    Unten links KachelX 75163 KachelY + 1 55854 0.46148853 0.44830680 26.441345 25.686088
    Unten rechts KachelX + 1 75164 KachelY + 1 55854 0.46153647 0.44830680 26.444092 25.686088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44835000-0.44830680) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dl = 275.227200000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44835000-0.44830680) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dr = 275.227200000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46148853-0.46153647) × cos(0.44835000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901163569424967 × 6371000     		do = 275.238550052482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46148853-0.46153647) × cos(0.44830680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901182294885722 × 6371000     		du = 275.244269290189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44835000)-sin(0.44830680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901163569424967-0.901182294885722)×R²
    abs(0.46153647-0.46148853)×1.8725460755098e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8725460755098e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8725460755098e-05×40589641000000     		ar = 75753.9225196938m²