Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75163 / 55644
↖ ↑ ↗
← N 26.204734°
E 26.441345°		 ← 274.03 m → N 26.204734°
E 26.444092°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 26.202270°
E 26.441345°		 ← 274.04 m →
75 091 m²		 N 26.202270°
E 26.444092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573451995849609 y=0.424533843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573451995849609 × 217)
    floor (0.573451995849609 × 131072)
    floor (75163.5)     		tx = 75163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424533843994141 × 217)
    floor (0.424533843994141 × 131072)
    floor (55644.5)     		ty = 55644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75163 / 55644 ti = "17/75163/55644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75163/55644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75163 ÷ 217
    75163 ÷ 131072     		x = 0.573448181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55644 ÷ 217
    55644 ÷ 131072     		y = 0.424530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573448181152344 × 2 - 1) × π
    0.146896362304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46148853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424530029296875 × 2 - 1) × π
    0.15093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474191811041595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46148853} λ = 0.46148853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474191811041595))-π/2
    2×atan(1.6067151431778)-π/2
    2×1.01407760967697-π/2
    2.02815521935395-1.57079632675     		φ = 0.45735889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46148853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.441345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45735889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.204734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75163 KachelY 55644 0.46148853 0.45735889 26.441345 26.204734
    Oben rechts KachelX + 1 75164 KachelY 55644 0.46153647 0.45735889 26.444092 26.204734
    Unten links KachelX 75163 KachelY + 1 55645 0.46148853 0.45731588 26.441345 26.202270
    Unten rechts KachelX + 1 75164 KachelY + 1 55645 0.46153647 0.45731588 26.444092 26.202270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45735889-0.45731588) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dl = 274.016710000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45735889-0.45731588) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dr = 274.016710000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46148853-0.46153647) × cos(0.45735889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897221886758903 × 6371000     		do = 274.034658707354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46148853-0.46153647) × cos(0.45731588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897240878284319 × 6371000     		du = 274.040459208058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45735889)-sin(0.45731588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897221886758903-0.897240878284319)×R²
    abs(0.46153647-0.46148853)×1.89915254162898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89915254162898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89915254162898e-05×40589641000000     		ar = 75090.8703336894m²